„Termodinamika példák - Hővezetés” változatai közötti eltérés

</noinclude><wlatex># $T_0$ hőmérsékletű, igen nagy hőkapacitású folyadékba $T_1>T_0$ hőmérsékletű, $m$ tömegű és $c$ fajhőjű, abszolút jó hővezető testet helyezünk a $t=0$ pillanatban. A test lehűlése a Newton-féle lehűlési törvény szerint zajlik ($\text{hőáramsűrűség}=\alpha(T-T_0)$), az $\alpha$ hőátadási tényező ismert, a test felületének nagysága $A$. Határozzuk meg a test hőmérsékletét $t$ idő eltelte után!</wlatex><includeonly><wlatex>{{{Útmutatás|content=A leadott hőt fejezzük ki egyrészt a hőkapacitással, és a hőmérsékletváltozással, másrészt a folyadékba történő hőátadással, és integráljuk a kapott egyenletet.}} {{Végeredmény|content=$$T=T_0+(T_1-T_0)\exp\{-\frac{\alpha A}{mc}t\}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>

<wlatex>Hővezetés alapegyenlete a Newton-féle lehűlési törvénnyel:

$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=A\alpha \left(T-T_0\right)$$

A test hűlését jellemző $\mathrm{d}Q=-cm\mathrm{d}T$ kifejezést behelyettesítve kapott differenciálegyenlet a változók szétválasztásának módszerével megoldható

$$-\frac{cm\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=A\alpha \left(T-T_0\right),$$

az eredmény akezdeti feltételeket is figyelembe véve ($T(0)=T_1$)

$$\ln \left(\frac{T-T_0}{T_1-T_0}\right)=\frac{A\alpha}{cm}t.$$

Ebből a test pillanatnyi hőmérséklete:

$$T= T_0+\left(T_1-T_0\right)e^{\displaystyle -\frac{A\alpha}{cm}t}.$$