„Magnetosztatika példák - Áram által átjárt vezető elrendezés mágneses tere” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
11. sor: | 11. sor: | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | Mivel a rendszer nem rendelkezik olyan szimmetriákkal, | + | Mivel a rendszer nem rendelkezik olyan szimmetriákkal, amelyek az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazását egyszerűvé tennék, a mágneses tér meghatározásához a Biot-Savart törvényt használjuk: |
− | $$B=\ | + | $$B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \frac{\vec{dl}\times \vec{r}}{\mid \vec{r} \mid ^3}$$ |
− | Az ábra alapján beláthatjuk, hogy a két egyenes vezetőszakasz tengelye átmegy a $P$ ponton, így ezen vezetőszakaszokon a $dl\times r$ vektorszorzat azonosan nullát ad. Ez azt jelenti, hogy a $P$ pontban mágneses teret csak a fékörív kelt. Vegyük a körív egy $dl$ hosszúságú infinitezimális ívelemét, mely a középpontból $d\varphi$ szög alatt látszik. Az ívdarab hossza: | + | Az ábra alapján beláthatjuk, hogy a két egyenes vezetőszakasz tengelye átmegy a $P$ ponton, így ezen vezetőszakaszokon a $\vec{dl}\times \vec{r}$ vektorszorzat azonosan nullát ad. Ez azt jelenti, hogy a $P$ pontban mágneses teret csak a fékörív kelt. Vegyük a körív egy $dl$ hosszúságú infinitezimális ívelemét, mely a középpontból $d\varphi$ szög alatt látszik. Az ívdarab hossza: |
$$dl=Rd\varphi$$ | $$dl=Rd\varphi$$ | ||
− | Bármely tetszőlegesen kiválasztott $dl$ ívelem $R$ távolságra van a $P$ ponttól, továbbá megállapítható, hogy az ívelemek mindig merőlegesek a középpontból feléjük húzott $r$ sugárra. A Biot-Savart törvényben található $dl\times r$ vektorszorzat tehát mindig merőleges a körív síkjára, nagysága pedig felírható a mennyiségek skalárértékeinek szorzataként: | + | Bármely tetszőlegesen kiválasztott $dl$ ívelem $R$ távolságra van a $P$ ponttól, továbbá megállapítható, hogy az ívelemek mindig merőlegesek a középpontból feléjük húzott $r$ sugárra. A Biot-Savart törvényben található $\vec{dl}\times \vec{r}$ vektorszorzat tehát mindig merőleges a körív síkjára, nagysága pedig felírható a mennyiségek skalárértékeinek szorzataként: |
$$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dlR}{ R^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl}{ R^2}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_0^{\pi} \dfrac{d\varphi}{ R}$$ | $$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dlR}{ R^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl}{ R^2}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_0^{\pi} \dfrac{d\varphi}{ R}$$ |
A lap 2013. szeptember 14., 21:31-kori változata
Feladat
- Határozzuk meg a mágneses teret az ábra alapján megadott áram által átjárt vezető elrendezés pontjában!(ábra)
Megoldás
Mivel a rendszer nem rendelkezik olyan szimmetriákkal, amelyek az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazását egyszerűvé tennék, a mágneses tér meghatározásához a Biot-Savart törvényt használjuk:
Az ábra alapján beláthatjuk, hogy a két egyenes vezetőszakasz tengelye átmegy a ponton, így ezen vezetőszakaszokon a vektorszorzat azonosan nullát ad. Ez azt jelenti, hogy a pontban mágneses teret csak a fékörív kelt. Vegyük a körív egy hosszúságú infinitezimális ívelemét, mely a középpontból szög alatt látszik. Az ívdarab hossza:
Bármely tetszőlegesen kiválasztott ívelem távolságra van a ponttól, továbbá megállapítható, hogy az ívelemek mindig merőlegesek a középpontból feléjük húzott sugárra. A Biot-Savart törvényben található vektorszorzat tehát mindig merőleges a körív síkjára, nagysága pedig felírható a mennyiségek skalárértékeinek szorzataként:
Az integrál kiszámítása után a mágneses indukció: