„Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
$$U = RI + L\dot{I}$$ | $$U = RI + L\dot{I}$$ | ||
− | + | Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen: | |
+ | $$U = \tilde{U}e^{i\omega t}$$ | ||
+ | ahol $\omega$ a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban: | ||
$$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$ | $$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$ | ||
Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve: | Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve: | ||
25. sor: | 27. sor: | ||
$$\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | $$\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | ||
Ebből $\tilde{I}$ fázisa a feszültséghez képest: | Ebből $\tilde{I}$ fázisa a feszültséghez képest: | ||
− | $$\phi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$ | + | $$\phi = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$ |
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. | Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. október 1., 15:58-kori változata
Feladat
- Egy
induktivitású tekercset és egy
ellenállást egy
frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora
szöggel késik az áram a feszültséghez képest?
Megoldás
Ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:
![\[U = RI + L\dot{I}\]](/images/math/6/1/f/61f65662333a98f63038ead1853d1a96.png)
Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen:
![\[U = \tilde{U}e^{i\omega t}\]](/images/math/b/0/7/b07be12b9184838776974172c889b5a1.png)
ahol a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban:
![\[I = \tilde{I}e^{i\omega t}\]](/images/math/d/7/e/d7edcef8addc2a36679085667cd69fb3.png)
Ezt behelyettesítve és -vel leegyszerűsítve:
![\[\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+i\omega\right)\]](/images/math/0/d/9/0d9413726b045aaf70f5f03be21d2c21.png)
Amit ha -re rendezünk, akkor:
![\[\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}\]](/images/math/f/5/7/f5768986cd2f5d6e40712ad7900a3041.png)
Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek:
![\[\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}\]](/images/math/f/5/5/f55c8c763605a6cc3042c1c5187637a3.png)
Ebből fázisa a feszültséghez képest:
![\[\phi = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\]](/images/math/e/e/2/ee2a49005f0e61494d33650794cdc119.png)
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest.