„Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben” változatai közötti eltérés
a (Beleznai átnevezte a(z) Magnetosztatika példák - Áram fáziskésés tekercset tartalmazó áramkörben lapot a következő névre: Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben) |
(→Megoldás) |
||
21. sor: | 21. sor: | ||
$$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$ | $$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$ | ||
Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve: | Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve: | ||
− | $$\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+ | + | $$\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+iL\omega\right)$$ |
Amit ha $\tilde{I}$-re rendezünk, akkor: | Amit ha $\tilde{I}$-re rendezünk, akkor: | ||
$$\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}$$ | $$\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}$$ |
A lap 2018. április 27., 14:53-kori változata
Feladat
- Egy
induktivitású tekercset és egy
ellenállást egy
frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora
szöggel késik az áram a feszültséghez képest?
Megoldás
Ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:
![\[U = RI + L\dot{I}\]](/images/math/6/1/f/61f65662333a98f63038ead1853d1a96.png)
Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen:
![\[U = \tilde{U}e^{i\omega t}\]](/images/math/b/0/7/b07be12b9184838776974172c889b5a1.png)
ahol a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban:
![\[I = \tilde{I}e^{i\omega t}\]](/images/math/d/7/e/d7edcef8addc2a36679085667cd69fb3.png)
Ezt behelyettesítve és -vel leegyszerűsítve:
![\[\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+iL\omega\right)\]](/images/math/6/f/7/6f70831bac91c795634377cb7ad8aefc.png)
Amit ha -re rendezünk, akkor:
![\[\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}\]](/images/math/f/5/7/f5768986cd2f5d6e40712ad7900a3041.png)
Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek:
![\[\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}\]](/images/math/f/5/5/f55c8c763605a6cc3042c1c5187637a3.png)
Ebből fázisa a feszültséghez képest:
![\[\phi = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)\]](/images/math/e/e/2/ee2a49005f0e61494d33650794cdc119.png)
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest.