„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{ | + | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}\frac{1}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}, \text{ ahol } w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$$<br />$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az | <wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az | ||
$$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$ | $$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$ | ||
− | Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk. | + | Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, $v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$ a legvalószínűbb sebesség és $A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$ állandókkal. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk. |
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: | Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: |
A lap 2013. március 21., 20:24-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az sebességeloszlási függvényből a összefüggés felhasználásával vezessük le az energia-eloszlási függvényt, ahol azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik és közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
Megoldás
Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény, a legvalószínűbb sebesség és állandókkal. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a energiaintervallumnak:
ahol az intervallum kezdőpontja a
sebesség--energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
Behelyettesítés után:
azaz
ahol a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és .
Mivel pozitív értékkészletű, -ban és -ben lecseng, azért extrémuma egyben a -lal jelölt legvalószínűbb energia:
A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele:
Az átlagos energiát az függvény első momentumaként számíthatjuk:
Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható:
ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke . Ezzel a részecskék átlagos energiája
az ekvipartíció tételével összhangban.