„Termodinamika példák - Ideális gáz entrópiája” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
a (Szöveg koherenssé tétele) |
|||
| 10. sor: | 10. sor: | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
</noinclude><wlatex># Az ideális gáz entrópiáját gyakran az $S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln V+ S_0$ alakban használják.</wlatex> | </noinclude><wlatex># Az ideális gáz entrópiáját gyakran az $S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln V+ S_0$ alakban használják.</wlatex> | ||
| − | #* a) <wlatex>Indokolja meg, hogy az $S_0$ mennyiségnek függnie kell a rendszer anyagmennyiségét megadó n mólszámtól!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Az entrópia extenzív állapotjelző.}}</wlatex></includeonly> | + | #* a) <wlatex>Indokolja meg, hogy az $S_0$ mennyiségnek függnie kell a rendszer anyagmennyiségét megadó $n$ mólszámtól!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=Az entrópia extenzív állapotjelző.}}</wlatex></includeonly> |
#* b) <wlatex>Adjon meg egy olyan $S_0(n)$-függést, amellyel az entrópia fenti kifejezése teljesíti az ''a)'' pontban szereplő követelményt! | #* b) <wlatex>Adjon meg egy olyan $S_0(n)$-függést, amellyel az entrópia fenti kifejezése teljesíti az ''a)'' pontban szereplő követelményt! | ||
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$S_0(n)=-nR\ln n+ns_0,$$ amivel az entrópia $$S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln \frac{V}{n}+ ns_0,$$ ahol $s_0$ már $n$-től független.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$S_0(n)=-nR\ln n+ns_0,$$ amivel az entrópia $$S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln \frac{V}{n}+ ns_0,$$ ahol $s_0$ már $n$-től független.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
| + | |||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>'''a)''' Az entrópia extenzív mennyiség, ezért egy nagyobb rendszer entrópiája | + | <wlatex>'''a)''' Az entrópia extenzív mennyiség, ezért egy nagyobb rendszer entrópiája az őt alkotó (őt hiánytalanul tartalmazó, de diszjunkt) részrendszerek entrópiájának összege. Ez az additivitás csak úgy teljesülhet, ha az $S_0$ referenciaérték függ a rendszer nagyságától, azaz a mólszámtól. |
==== Megjegyzés ==== | ==== Megjegyzés ==== | ||
A feladatban megadott képletben $\ln T$ és $\ln V$ csak dimenzió nélkül (előre rögzített $T_0$ és $V_0$ egységekben mért mértékegység nélküli számként) értelmezhetőek, ahogy az [[Termodinamika példák - Az entrópia hőmérséklet és térfogatfüggése, az adiabata egyenlete|előző feladatban]] megállapítottuk: | A feladatban megadott képletben $\ln T$ és $\ln V$ csak dimenzió nélkül (előre rögzített $T_0$ és $V_0$ egységekben mért mértékegység nélküli számként) értelmezhetőek, ahogy az [[Termodinamika példák - Az entrópia hőmérséklet és térfogatfüggése, az adiabata egyenlete|előző feladatban]] megállapítottuk: | ||
| − | $$ S\left(T,V,n\right)- S_0(n)=n\left( C_V \ln T + R\ln V \right)$$ | + | $$ S\left(T,V,n\right) - S_0(n) = n \left( C_V \ln T + R\ln V \right). $$ |
| − | '''b)''' Mivel az entrópia extenzív mennyiség, egyensúlyban felírható egy extenzív | + | '''b)''' Mivel az entrópia extenzív mennyiség, egyensúlyban felírható olyan tagokból, melyek pontosan egy extenzív mennyiséget (pl. mólszám) és intenzív mennyiségek függvényeit tartalmazzák. Intenzívnek tekintendőek a moláris- és sűrűségjellegű mennyiségek is. |
Tegyük a térfogatot is molárissá, így leválaszthatjuk a mólszámtól való függést: | Tegyük a térfogatot is molárissá, így leválaszthatjuk a mólszámtól való függést: | ||
$$ S\left(T,V,n\right) = n\left( C_V \ln T + R\ln \frac{V}{n} + R\ln n +\frac{S_0(n)}{n} \right) | $$ S\left(T,V,n\right) = n\left( C_V \ln T + R\ln \frac{V}{n} + R\ln n +\frac{S_0(n)}{n} \right) | ||
= n\left( C_V \ln T + R\ln V_M + s_0 \right), $$ | = n\left( C_V \ln T + R\ln V_M + s_0 \right), $$ | ||
| − | ahol a zárójelben | + | ahol a zárójelben intenzív mennyiségek állnak: $ V_M = \frac{V}{n} $ moláris térfogat és $ s_0 = R\ln n + \frac{S_0(n)}{n} $ már függetlenek a mólszámtól, és beazonosíthatjuk, hogy |
$$ S_0(n)=-nR\ln n+ns_0. $$ | $$ S_0(n)=-nR\ln n+ns_0. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. május 12., 23:09-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Entrópia, II. főtétel |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az ideális gáz entrópiáját gyakran az
alakban használják.
- a) Indokolja meg, hogy az
mennyiségnek függnie kell a rendszer anyagmennyiségét megadó 
mólszámtól!
- b) Adjon meg egy olyan
-függést, amellyel az entrópia fenti kifejezése teljesíti az a) pontban szereplő követelményt!
- a) Indokolja meg, hogy az
Megoldás
a) Az entrópia extenzív mennyiség, ezért egy nagyobb rendszer entrópiája az őt alkotó (őt hiánytalanul tartalmazó, de diszjunkt) részrendszerek entrópiájának összege. Ez az additivitás csak úgy teljesülhet, ha az referenciaérték függ a rendszer nagyságától, azaz a mólszámtól.
Megjegyzés
A feladatban megadott képletben 
és 
csak dimenzió nélkül (előre rögzített 
és 
egységekben mért mértékegység nélküli számként) értelmezhetőek, ahogy az előző feladatban megállapítottuk:
![\[ S\left(T,V,n\right) - S_0(n) = n \left( C_V \ln T + R\ln V \right). \]](/images/math/4/a/f/4afbc10ae4e896a5e4172e081b4b00f9.png)
b) Mivel az entrópia extenzív mennyiség, egyensúlyban felírható olyan tagokból, melyek pontosan egy extenzív mennyiséget (pl. mólszám) és intenzív mennyiségek függvényeit tartalmazzák. Intenzívnek tekintendőek a moláris- és sűrűségjellegű mennyiségek is.
Tegyük a térfogatot is molárissá, így leválaszthatjuk a mólszámtól való függést:
![\[ S\left(T,V,n\right) = n\left( C_V \ln T + R\ln \frac{V}{n} + R\ln n +\frac{S_0(n)}{n} \right) = n\left( C_V \ln T + R\ln V_M + s_0 \right), \]](/images/math/e/4/b/e4b84fa24b405361acf517f93bfdba05.png)
ahol a zárójelben intenzív mennyiségek állnak: 
moláris térfogat és 
már függetlenek a mólszámtól, és beazonosíthatjuk, hogy
![\[ S_0(n)=-nR\ln n+ns_0. \]](/images/math/b/1/d/b1dc646b453328d8e2956b16892eeb32.png)
