„Magnetosztatika példák - Gyűrű alakú vezető mágneses tere” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
|||
25. sor: | 25. sor: | ||
Az áramjárta vezetők mágneses terét a kör középpontjában a Biot-Savart törvénnyel határozhatjuk meg: | Az áramjárta vezetők mágneses terét a kör középpontjában a Biot-Savart törvénnyel határozhatjuk meg: | ||
− | $$B=\ | + | $$B=\frac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \frac{\vec{dl} \times \vec{r}}{\vec{r}^3}$$ |
− | A vektorszorzatot egyszerűsíthetjük, hiszen az ívelemek | + | A vektorszorzatot egyszerűsíthetjük, hiszen az ívelemek mindig merőlegesek a hozzájuk húzott sugárra: |
$$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl r}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl }{r^2}$$ | $$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl r}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl }{r^2}$$ |
A lap 2013. szeptember 14., 21:45-kori változata
Feladat
- Az ábra szerinti áramkör egy homogén vezető gyűrűből áll, amelyhez két sugárirányú vezeték csatlakozik. Az áramkört záró forrás a hozzávezetésekkel együtt olyan távoli, hogy a gyűrű helyén keltett mágneses tere elhanyagolható. Mekkora a mágneses térerősség a gyűrű középpontjában?
Megoldás
Ha az sugarú gyűrű szög alatt látszódó kapcsaira feszültséget kötünk, a kapcsok által kettéosztott ívdarab egyikében óramutató járásával megegyező, a másikban pedig óramutató járásával ellentétes áram indul. Először meghatározzuk az egyes ívelemek ellenállását, majd a bennük folyó áramot. Legvégül Biot-Savart törvénnyel kiszámítjuk az indukált mágneses teret.
Az ívek hossza:
Legyen a vezeték egységnyi hosszára eső ellenállás nagysága . Ekkor a két ív ellenállása:
A egyes vezetékekben folyó áramok:
Az áramjárta vezetők mágneses terét a kör középpontjában a Biot-Savart törvénnyel határozhatjuk meg:
A vektorszorzatot egyszerűsíthetjük, hiszen az ívelemek mindig merőlegesek a hozzájuk húzott sugárra:
Parametrizáljuk a ívelemet szerint mindkét ív esetén:
-ben azért van negatív előjel, mert az áram folyási iránya ellentétes az szög körüljárási irányával. Ezek alapján a két ív által keltett mágneses tér:
Az integrálásokat elvégezve:
Behelyettesítve az áramerősségeket:
Az eredő tér:
A két komponens épp kioltja egymást, függetlenül a kontaktusok elhelyezésének szögétől.