„Magnetosztatika példák - Négyzet alakú fémkeret mágneses tere” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
|||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $a$ oldalú négyzet alakú fémkeretben $I$ áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a keret középpontján átmenő, síkjára merőleges $z$ tengely mentén! </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$ | + | </noinclude><wlatex>#Egy $a$ oldalú négyzet alakú fémkeretben $I$ áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a keret középpontján átmenő, síkjára merőleges $z$ tengely mentén! </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$H=\dfrac{I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
38. sor: | 38. sor: | ||
$$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi \sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }} \dfrac{a}{\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}$$ | $$B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi \sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }} \dfrac{a}{\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}$$ | ||
− | A fenti $\vec{B}$ indukció vektora azonban merőleges a gúla oldallapjára, így, ha összegezni akarjuk a keret négy éle által keltett teret, akkor négy darab $B$ nagyságú, de a gúla egyes oldallapjaira merőleges | + | A fenti $\vec{B}$ indukció vektora azonban merőleges a gúla oldallapjára, így, ha összegezni akarjuk a keret négy éle által keltett teret, akkor négy darab $B$ nagyságú, de a gúla egyes oldallapjaira merőleges vektort kell összegeznünk. A gúla szimmetriája miatt az egyes indukció vektorok keret síkjával párhuzamos komponensei kioltják egymást. Keret síkjára merőleges komponensei összeadódnak, így az eredő tér is a keret síkjára merőleges irányú lesz. Hogy ennek nagyságát meghatározzuk, meg kell határoznunk a fent kiszámolt $B$ indukció $B_z$ függőleges komponensét: |
$$B_z=B \sin(\beta)$$ | $$B_z=B \sin(\beta)$$ | ||
49. sor: | 49. sor: | ||
$$B_e=4B_z=4B \sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}$$ | $$B_e=4B_z=4B \sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}$$ | ||
+ | <br /> | ||
+ | Vagyis a mágneses térerősség: | ||
+ | $$H = \dfrac{ I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}$$ | ||
+ | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. szeptember 27., 16:49-kori változata
Feladat
- Egy oldalú négyzet alakú fémkeretben áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a keret középpontján átmenő, síkjára merőleges tengely mentén!
Megoldás
A keret által létrehozott tér a négy darab él terének összegeként írható le. A véges hosszúságú, áram által átjárt egyenes vezetékdarab mágneses terét az Egyenes vezető mágneses tere feladatában már meghatároztuk:
Ahol a vizsgált pont és a vezetődarab távolsága, és pedig a rúd két végpontjának látószöge a vizsgált pontból a vezetékhez húzott merőlegeshez képest. A feladatban szereplő négyzetes keret középpontja felett magasságban kijelölt pont egy négyzet alapú gúlává egészíti ki a rendszer geometriáját, ahogy az ábrán látható.
A gúla egy oldallapjának, mint egyenlő szárú háromszögnek a magassága megegyezik a vezető keret adott élének a vizsgált ponttól mért távolságával:
A gúla élének hossza hasonló geometriai megfontolások alapján meghatározható:
Ezek ismeretében meghatározható az oldallap magassága és az élek által bezárt és szög szinusza:
Már mindent ismerünk ahhoz, hogy meghatározzuk a keret egyetlen éle által a gúla csúcspontjában keltett mágneses indukció nagyságát:
A fenti indukció vektora azonban merőleges a gúla oldallapjára, így, ha összegezni akarjuk a keret négy éle által keltett teret, akkor négy darab nagyságú, de a gúla egyes oldallapjaira merőleges vektort kell összegeznünk. A gúla szimmetriája miatt az egyes indukció vektorok keret síkjával párhuzamos komponensei kioltják egymást. Keret síkjára merőleges komponensei összeadódnak, így az eredő tér is a keret síkjára merőleges irányú lesz. Hogy ennek nagyságát meghatározzuk, meg kell határoznunk a fent kiszámolt indukció függőleges komponensét:
Ahol a vektor keret síkjával bezárt szöge. A merőleges szárú szögek tételéből következően a gúla magassága és a gúla oldallapjának magasságvonala szintén szöget zár be egymással. Tehát:
Az eredő tér így a következőnek adódik:
Vagyis a mágneses térerősség: