„Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(→‎Megoldás)
24. sor: 24. sor:
 
$$V=\frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}$$
 
$$V=\frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}$$
 
Ezt visszaírva a folyamatot jellemző $C$ fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy
 
Ezt visszaírva a folyamatot jellemző $C$ fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy
−
$$C n \mathrm{d}T = (C_V n - \frac{pV}{T})\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\mathrm{d}T,$$
+
$$C n \mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right)\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\mathrm{d}T,$$
 
ahonnan a fajhő leolvasható:
 
ahonnan a fajhő leolvasható:
−
$$ C = C - n. $$
+
$$ C = C_V - n. $$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2012. október 9., 20:09-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika 3. gyakorlat
Gyakorlatok listája:
  1. Kinetikus gázelmélet, transzport
  2. Állapotváltozás, I. főtétel
  3. Fajhő, Körfolyamatok
  4. Entrópia, II. főtétel
  5. Homogén rendszerek
  6. Fázisátalakulások
  7. Kvantummechanikai bevezető
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok
Feladatok listája:
  1. Id. g. nyomása belső energiával
  2. Stern-kísérlet
  3. Energia szerinti eloszlás
  4. Vákuum
  5. Diffúzió és belső súrlódás
  6. Gáz szökése
  7. Gázcsere tartályok közt
  8. Gázcsere két gázzal
  9. Lineáris hőmérsékletprofil
  10. Jég fagyása
  11. Hővezetés
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Melegszik vagy lehűl az \setbox0\hbox{$1\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ideális gáz, ha a \setbox0\hbox{$V=k/\sqrt{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés (\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője \setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%?

Megoldás

A termodinamika első főtétele szerint
\[\delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V,\]

ahol a belső energiát a hőmérséklet és a térfogat függvényeként fogjuk fel (\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), ezzel:

\[\delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\mathrm{d}T+ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\mathrm{d}V+ p\,\mathrm{d}V.\]

Az utolsó két tag sorrendjét felcserélve általánosan levezethető, hogy

\[C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ \left[p+\frac{\partial U}{\partial V}\right]_T\mathrm{d}V.\]

Az ideális gázra speciálisan a belső energia térfogat szerinti parciális deriváltja nulla. A térfogat infinitezimális megváltozását a folyamatot jellemző úton kifejezhetjük a hőmérséklettel:

\[C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T.\]

Az ideális gáz \setbox0\hbox{$pV=nRT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állapotegyenletéből és a folyamatot jellemző \setbox0\hbox{$p=\frac{k^2}{V^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletből a térfogat és a folyamatot jellemző deriváltja számítható:

\[V=\frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}\]

Ezt visszaírva a folyamatot jellemző \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy

\[C n \mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right)\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\mathrm{d}T,\]

ahonnan a fajhő leolvasható:

\[ C = C_V - n. \]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Termodinamika_példák_-_Ideális_gáz_állapotváltozása_egyenlettel&oldid=4832”