„Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása” változatai közötti eltérés
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | + | </noinclude><wlatex># Az $F(v)$ sebességeloszlási függvényből a $w=mv^2/2$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $f(w)$ energia-eloszlási függvényt, ahol $f(w)$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $w$ és $w+\mathrm{d}w$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $w_0$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$f(w)=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}$$<br />$$w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] | + | <wlatex>Az [[Termodinamika példák - Stern-kísérlet|előző feladatban]] taglaltaknak megfelelően az |
$$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$ | $$F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}$$ | ||
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk. | Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk. | ||
− | Ez azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: | + | Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $[v,v+\mathrm{d}v)$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $[w,w+\mathrm{d}w)$ energiaintervallumnak: |
$$F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,$$ | $$F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,$$ | ||
− | ahol az intervallum | + | ahol az intervallum kezdőpontja a |
$$w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}$$ | $$w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}$$ | ||
− | sebesség--energia-összefüggésből differenciálás útján kapható: | + | sebesség--energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható: |
− | $$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}$$ | + | $$ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}.$$ |
Behelyettesítés után: | Behelyettesítés után: | ||
+ | $$f\left(w\right)\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v= A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\mathrm{d}w,$$ | ||
+ | azaz | ||
+ | $$f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,$$ | ||
+ | ahol $w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$. | ||
− | + | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $w_0$-lal jelölt legvalószínűbb energia: | |
− | + | ||
− | + | ||
− | Mivel $f(w)$ pozitív értékkészletű, $0$-ban és $\infty$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a legvalószínűbb energia: | + | |
$$\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.$$ | $$\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.$$ | ||
A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele: | A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele: | ||
− | $$w_0=\frac12kT=\frac12 w_v$$ | + | $$w_0=\frac12kT=\frac12 w_v.$$ |
Az átlagos energiát az $f(w)$ függvény első momentumaként számíthatjuk: | Az átlagos energiát az $f(w)$ függvény első momentumaként számíthatjuk: | ||
− | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w$$ | + | $$ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w.$$ |
Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható: | Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható: | ||
− | $$ \left[-kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,$$ | + | $$ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,$$ |
ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája | ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke $1$. Ezzel a részecskék átlagos energiája | ||
$$\langle w\rangle=\frac32kT$$ | $$\langle w\rangle=\frac32kT$$ | ||
− | az ekvipartíció tételével | + | az ekvipartíció tételével összhangban. |
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. március 21., 20:21-kori változata
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Az
sebességeloszlási függvényből a
összefüggés felhasználásával vezessük le az
energia-eloszlási függvényt, ahol
azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik
és
közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb
energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
Megoldás
Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az
![\[F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}\]](/images/math/b/8/b/b8bc91fba324fff87b547f53a04ee4d0.png)
Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.
Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a
energiaintervallumnak:
![\[F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,\]](/images/math/b/1/9/b194bd8e1e25564caeee80845cdce2be.png)
ahol az intervallum kezdőpontja a
![\[w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}\]](/images/math/d/a/3/da32e3bd8d64f5f73bf9da26703728d8.png)
sebesség--energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:
![\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}.\]](/images/math/e/a/7/ea7cc1f34a7b21a3a571c3bfc03016b8.png)
Behelyettesítés után:
![\[f\left(w\right)\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v= A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\mathrm{d}w,\]](/images/math/3/5/4/35479a4949511b9bad2bbb4198f4824a.png)
azaz
![\[f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,\]](/images/math/5/f/d/5fda3318193e142b95895af3c16ee03e.png)
ahol a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és
.
Mivel pozitív értékkészletű,
-ban és
-ben lecseng, azért extrémuma egyben a
-lal jelölt legvalószínűbb energia:
![\[\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.\]](/images/math/1/7/8/178f3d39e4b96998bb4085d44debf9a2.png)
A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele:
![\[w_0=\frac12kT=\frac12 w_v.\]](/images/math/e/a/2/ea2afb575e7070ef0b57513c177383a3.png)
Az átlagos energiát az függvény első momentumaként számíthatjuk:
![\[ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w.\]](/images/math/4/e/9/4e9c311b1a8efa980cc59d280899ad1d.png)
Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható:
![\[ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,\]](/images/math/d/9/0/d904176aeafe8e87f62da43b19a8911a.png)
ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke . Ezzel a részecskék átlagos energiája
![\[\langle w\rangle=\frac32kT\]](/images/math/9/6/9/96922c0f826d15fda9c40bde74e46a45.png)
az ekvipartíció tételével összhangban.