„Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 16. sor: | 16. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_K$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_K/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molkeulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_K$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_K/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molkeulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le: | + | <wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le: |
$$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = | $$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = | ||
- \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A | - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A | ||
| 26. sor: | 26. sor: | ||
Felhasználva ezt és, hogy $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk: | Felhasználva ezt és, hogy $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk: | ||
| − | $$ \frac{\mathrm{d} | + | $$ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = |
| − | - \frac14 \langle v \rangle A \left(\ | + | - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} |
+ \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$ | + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$ | ||
| − | Egyensúly esetén $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$: | + | Egyensúly esetén $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$, azaz $\frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$: |
| − | $$ \left(\ | + | $$ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} |
= \frac{N}{V^{(2)}},$$ | = \frac{N}{V^{(2)}},$$ | ||
amiből | amiből | ||
| − | $$ N^{(1)} = $$ | + | $$ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. $$ |
| − | Diszkusszió | + | Analóg módon kapjuk, hogy $ n^{(1)} = n^{(2)} = n_\infty \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása $p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} RT$. |
| + | Speciálisan a feladat szerint $p_K = \frac{N^{(1)}}{V^{(1)}} RT = \frac{N^{(2)}}{2V^{(2)}} RT$ és $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, azaz $N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_K/2$. | ||
| + | |||
| + | == Kiegészítés == | ||
| + | A felírt | ||
| + | |||
| + | differenciálegyenlet megoldása | ||
| + | |||
| + | == Diszkusszió == | ||
| + | Ha $V^{(2)}$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $n^{(2)}=n_\intfty=0$. | ||
| + | |||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 2., 19:54-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben
nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok 
hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos 
egyensúlyi nyomás alakul ki!
Megoldás
Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]](/images/math/b/3/4/b347c9f105aeb903ab882413b764b9f2.png)
a molekulák átlagos sebessége 
érelmében azonos, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.
Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma 
, aminek értelmében 
megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]](/images/math/1/6/c/16c0565dd0bb4bb61f994f9bde059e3a.png)
Felhasználva ezt és, hogy 
, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
![\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]](/images/math/8/9/9/89916c699d6c1f63bcd0db3b76b29c24.png)
Egyensúly esetén 
, azaz 
:
![\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]](/images/math/9/4/4/944fc3cdf75243ec53be80a78c11e0e5.png)
amiből
![\[ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]](/images/math/4/6/e/46e60bca8a2d19c64ece7d41bbd769da.png)
Analóg módon kapjuk, hogy 
, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása 
.
Speciálisan a feladat szerint 
és 
, azaz 
, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás .
Kiegészítés
A felírt
differenciálegyenlet megoldása
Diszkusszió
Ha
térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: LaTex syntax error\setbox0\hbox{$n^{(2)}=n_\intfty=0$}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%
.
