„Termodinamika példák - Gázcsere két gázzal” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger [[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]…”) |
|||
| 8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_K$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p= | + | </noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_K$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_\text{kezd}/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molekulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. Az ideális gáz közelítésben a két gáz molekulái sem saját fajtájukkal, sem a másik géázzal nem hatnak kölcsön, ezért külön differenciálegyenleteket írhatunk fel az egyes gázokra: | <wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. Az ideális gáz közelítésben a két gáz molekulái sem saját fajtájukkal, sem a másik géázzal nem hatnak kölcsön, ezért külön differenciálegyenleteket írhatunk fel az egyes gázokra: | ||
| 23. sor: | 23. sor: | ||
Legyen kezdetben az 1. tartályban a hidrogén és a másodikban az oxigén: | Legyen kezdetben az 1. tartályban a hidrogén és a másodikban az oxigén: | ||
| − | $$ n_{VH\text{kezd}}^{(1)} = n_{VH}, \qquad n_{VH\text{kezd}}^{(2)}=0, $$ | + | $$ n_{VH\text{kezd}}^{(1)} = n_{VH\text{kezd}}, \qquad n_{VH\text{kezd}}^{(2)}=0, $$ |
| − | $$ n_{VO\text{kezd}}^{(2)} = n_{VO}, \qquad n_{VO\text{kezd}}^{(1)}=0. $$ | + | $$ n_{VO\text{kezd}}^{(2)} = n_{VO\text{kezd}}, \qquad n_{VO\text{kezd}}^{(1)}=0. $$ |
Egyensúlyban $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t}=0$, azaz $n_{VH\text{vég}}^{(1)}=n_{VH\text{vég}}^{(2)}=n_{VH\text{vég}}$. | Egyensúlyban $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t}=0$, azaz $n_{VH\text{vég}}^{(1)}=n_{VH\text{vég}}^{(2)}=n_{VH\text{vég}}$. | ||
| 36. sor: | 36. sor: | ||
adódik. | adódik. | ||
| + | A kezdeti $p_\text{kezd} = n_{VH\text{kezd}}kT$ és $2p_\text{kezd} = n_{VO}kT$ nyomásokból $2n_{VH\text{kezd}}=n_{VO}$ összefüggést nyerjük. | ||
| + | A kialakuló | ||
| + | $$p_{O\text{vég}} = n_{VO\text{vég}}kT = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} 2p_\text{kezd}$$ | ||
| + | és | ||
| + | $$p_{H\text{vég}} = n_{VH\text{vég}}kT = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd}$$ | ||
| + | nyomásokból pedig a parciális nyomások tétele szerint | ||
| + | $$p_\text{vég} = p_{H\text{vég}} + p_{O\text{vég}} = \frac{2V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} + \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd}$$ | ||
| + | adódik. | ||
| − | Speciálisan a feladat szerint | + | Speciálisan a feladat szerint $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, (továbbá $N^{(1)}=N^{(2)}/2=N/3$), ezeket az előző képletbe helyettesítve a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_K/2$. |
| + | A részecskeszámokra vonatkozó differenciálegyenletek megoldása az [[Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt#Kiegészítés|előző feladatéval]] analóg. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 2., 23:26-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben
nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok 
hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos 
egyensúlyi nyomás alakul ki!
Megoldás
Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. Az ideális gáz közelítésben a két gáz molekulái sem saját fajtájukkal, sem a másik géázzal nem hatnak kölcsön, ezért külön differenciálegyenleteket írhatunk fel az egyes gázokra:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_H}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_{VH}^{(1)}\langle v_H \rangle A + \frac14 n_{VH}^{(2)}\langle v_H \rangle A = \frac14 \langle v_H \rangle A \left(n_{VH}^{(2)}-n_{VH}^{(2)}\right),\]](/images/math/f/5/3/f530ded956006017d2c13b197cbe6fcf.png)
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}_O}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_{VO}^{(1)}\langle v_O \rangle A + \frac14 n_{VO}^{(2)}\langle v_O \rangle A = \frac14 \langle v_O \rangle A \left(n_{VO}^{(2)}-n_{VO}^{(2)}\right),\]](/images/math/2/d/4/2d47710c058f120beef81e935f4ca145.png)
a molekulák átlagos sebessége 
fordítottan arányos a 
molekulatömeggel (a két tartály
hőmérséklete) azonos: 
, 
.
Legyen kezdetben az 1. tartályban a hidrogén és a másodikban az oxigén:
![\[ n_{VH\text{kezd}}^{(1)} = n_{VH\text{kezd}}, \qquad n_{VH\text{kezd}}^{(2)}=0, \]](/images/math/2/c/3/2c36e36f23703b17caaa11226c07dbb6.png)
![\[ n_{VO\text{kezd}}^{(2)} = n_{VO\text{kezd}}, \qquad n_{VO\text{kezd}}^{(1)}=0. \]](/images/math/7/2/0/72055b6b0f0ef23490ff662122848289.png)
Egyensúlyban 
, azaz 
.
Az anyagmegmaradás értelmében 
, aminek értelmében:
![\[ V^{(1)} n_{VH} = V^{(1)} n_{VH}^{(1)} + V^{(2)} n_{VH}^{(2)} = n_{VH\text{vég}} \left( V^{(1)} + V^{(2)} \right), \]](/images/math/a/c/f/acf714739e957d1481ab258a52cfbcf2.png)
az előző összefüggést behelyettesítve a hidrogénre
![\[ n_{VH\text{vég}} = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VH\text{kezd}} \]](/images/math/7/a/e/7ae3443aaaa25fd869ef3e4e7035c703.png)
és analóg módon az oxigénre
![\[ n_{VO\text{vég}} = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)} + V^{(2)}} n_{VO\text{kezd}} \]](/images/math/5/e/0/5e0bac81482018178da1fd813e97bda3.png)
adódik.
A kezdeti 
és 
nyomásokból 
összefüggést nyerjük.
A kialakuló
![\[p_{O\text{vég}} = n_{VO\text{vég}}kT = \frac{V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} 2p_\text{kezd}\]](/images/math/a/4/8/a48ffdcb5d7bd986f3b78d4907097cf6.png)
és
![\[p_{H\text{vég}} = n_{VH\text{vég}}kT = \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd}\]](/images/math/f/4/6/f462b95403e67c1cdc59ac7740001196.png)
nyomásokból pedig a parciális nyomások tétele szerint
![\[p_\text{vég} = p_{H\text{vég}} + p_{O\text{vég}} = \frac{2V^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} + \frac{V^{(1)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} p_\text{kezd}\]](/images/math/a/6/f/a6f2f8d627f8620cda7b3b33d3d7586c.png)
adódik.
Speciálisan a feladat szerint 
, (továbbá 
), ezeket az előző képletbe helyettesítve a kialakuló egyensúlyi nyomás 
.
A részecskeszámokra vonatkozó differenciálegyenletek megoldása az előző feladatéval analóg.
