„Termodinamika példák - Jég fagyása” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
| 16. sor: | 16. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Mennyi idő alatt képződik $z=5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $T=0\,\mathrm{^\circ C}$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $0\,\mathrm{^\circ C}$-os. A jég olvadáshője $L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$, hővezetési tényezője $\lambda=2,1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$, sűrűsége pedig $\rho=0,92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Írjuk fel egy elemi időtartam alatt keletkező elemi vastagságú jégréteg felszabadulásakor keletkező hőt, és tegyük fel, hogy ez a jégrétegen keresztül hővezetéssel távozik, majd integráljuk a kapott egyenletet. Az analitikus megoldás érdekében hanyagoljuk el a jég ''fajhőjét''.}} {{Végeredmény|content=$$z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},$$ 5 óra alatt képződik $5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Mennyi idő alatt képződik $z=5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $T=0\,\mathrm{^\circ C}$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $0\,\mathrm{^\circ C}$-os. A jég olvadáshője $L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$, hővezetési tényezője $\lambda=2,1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$, sűrűsége pedig $\rho=0,92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content= Írjuk fel egy elemi időtartam alatt keletkező elemi vastagságú jégréteg felszabadulásakor keletkező hőt, és tegyük fel, hogy ez a jégrétegen keresztül hővezetéssel távozik, majd integráljuk a kapott egyenletet. Az analitikus megoldás érdekében hanyagoljuk el a jég ''fajhőjét''.}} {{Végeredmény|content=$$z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},$$ 5 óra alatt képződik $5\,\mathrm{cm}$ vastag jégréteg.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>A $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$ hővezetési egyenletet most használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező $z$ vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy $\mathrm{d}z$ vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges. |
| − | A $\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$ hővezetési egyenletet most használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező $z$ vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy $\mathrm{d}z$ vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges. | + | |
Ha a fagyás kellően lassú, feltehetjük, hogy az [[Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil|előző feladatban]] bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a $Z(t)$ vastag jégrétegben. | Ha a fagyás kellően lassú, feltehetjük, hogy az [[Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil|előző feladatban]] bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a $Z(t)$ vastag jégrétegben. | ||
| − | $$\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell} Z(t) \qquad \forall z\in(0,Z(t))$$ | + | $$\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))$$ |
A fagyás során vízből $\mathrm{d}z$ vastagságú $\mathrm{d}m$ tömegű $0\,\mathrm{^\circ C}$-os jégréteget | A fagyás során vízből $\mathrm{d}z$ vastagságú $\mathrm{d}m$ tömegű $0\,\mathrm{^\circ C}$-os jégréteget | ||
| 27. sor: | 26. sor: | ||
A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve: | A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve: | ||
| − | $$ | + | $$L_o\rho A\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{T_0-T_\ell}{z},$$ |
amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk, a | amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk, a | ||
$$z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},$$ | $$z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},$$ | ||
| 33. sor: | 32. sor: | ||
== Megjegyzés == | == Megjegyzés == | ||
| − | A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés indokolt $L_0 \gg c\cdot | + | A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés indokolt $L_0 \gg c\cdot 10\,\mathrm{^\circ C}=20,93\,\mathrm{\frac{J}{g}}$ miatt nem túl vastag jégpáncélra. |
Ekkor a $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\alpha \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}z^2}$ hővezetési egyenletet $T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$ és $T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$ peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $T(z,t)$ és $Z(t)$ is ismeretlen. | Ekkor a $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\alpha \frac{\mathrm{d}^2T}{\mathrm{d}z^2}$ hővezetési egyenletet $T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$ és $T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$ peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $T(z,t)$ és $Z(t)$ is ismeretlen. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap 2013. április 3., 21:11-kori változata
| [rejt] Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Mennyi idő alatt képződik
vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet 
, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt 
? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig 
-os. A jég olvadáshője 
, hővezetési tényezője 
, sűrűsége pedig 
.
Megoldás
A 
hővezetési egyenletet most használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező 
vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy 
vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges.
Ha a fagyás kellően lassú, feltehetjük, hogy az előző feladatban bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a 
vastag jégrétegben.
![\[\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))\]](/images/math/b/4/1/b41a8f0921d714bde9b20663b4692563.png)
A fagyás során vízből vastagságú 
tömegű -os jégréteget
![\[\mathrm{d}Q= -L_o\mathrm{d}m = -L_o\rho A\mathrm{d}z\]](/images/math/9/f/6/9f6a44ef68533ab9d664c641ae33378a.png)
hő elvonásával tudunk létrehozni.
A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve:
![\[L_o\rho A\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{T_0-T_\ell}{z},\]](/images/math/9/5/9/9591d53b1fc55424b3a5f46dfe76c6bd.png)
amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk, a
![\[z(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},\]](/images/math/b/1/b/b1b74d6f6a6132e57f60ce5552780bcf.png)
azaz 5 óra alatt képződik 
vastag jégréteg.
Megjegyzés
A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés indokolt 
miatt nem túl vastag jégpáncélra.
Ekkor a 
hővezetési egyenletet 
és 
peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol 
és is ismeretlen.
