„Termodinamika példák - Nyomás hőmérsékletfüggése mérhető mennyiségekkel” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
11. sor: | 11. sor: | ||
</noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\mathrm{d}p$ teljes differenciál nulla.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># A $p=p(T,V)$ állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a $\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V$ mennyiséget a $\beta_p$ hőtágulási együttható és a $\kappa_T$ izotermikus kompresszibilitás segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használja fel a két mennyiség definícióját és azt, hogy állandó nyomáson a $\mathrm{d}p$ teljes differenciál nulla.}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre |
+ | $${\beta }_ p\mathrm{\colon }=\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad | ||
+ | {\kappa }_ T\mathrm{\colon }=-\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T$$ | ||
+ | |||
+ | * Izobár folyamatban | ||
+ | $$ \mathrm{d}p = 0 = {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V \mathrm{d}T + {\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T \mathrm{d}V, $$ | ||
+ | és a formális $\mathrm{d}T$-vel osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást: | ||
+ | $$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V | ||
+ | = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p | ||
+ | = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p | ||
+ | = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}$$ | ||
+ | |||
+ | * Egyszerűbben juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal: | ||
+ | $$ \mathrm{d}V = 0 = {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p \mathrm{d}T + {\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T \mathrm{d}p | ||
+ | = V\beta_p \mathrm{d}T - V\kappa_T \mathrm{d}p $$ | ||
+ | formálisan osztunk $\mathrm{d}T$-vel és jelöljük kell az izochor állapotváltozást: | ||
+ | $$ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 7., 01:00-kori változata
Feladat
- A
állapotegyenlet ismeretében fejezzük ki a
mennyiséget a
hőtágulási együttható és a
izotermikus kompresszibilitás segítségével!
Megoldás
Az izobár hőtágulási együttható és az izoterm kompresszibilitás rendre
![\[{\beta }_ p\mathrm{\colon }=\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_ p, \qquad {\kappa }_ T\mathrm{\colon }=-\frac 1 V{\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_ T\]](/images/math/0/f/1/0f1f416348967fbb697a62cc6ac1c4df.png)
- Izobár folyamatban
![\[ \mathrm{d}p = 0 = {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V \mathrm{d}T + {\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T \mathrm{d}V, \]](/images/math/8/c/2/8c2cdf644a292873b9d25df24dd57aa5.png)
és a formális -vel osztás során jelölnünk kell az izobár állapotváltozást:
![\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = -{\left(\frac{\partial p}{\partial V}\right)}_T {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p = \frac 1{V\kappa_T}\cdot V\beta_p = \frac{\beta_p}{\kappa_ T}\]](/images/math/9/e/b/9eb277917c413c57e4824c5c3b3d5a95.png)
- Egyszerűbben juthatunk el az eredményhez izochor folyamattal:
![\[ \mathrm{d}V = 0 = {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p \mathrm{d}T + {\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)}_T \mathrm{d}p = V\beta_p \mathrm{d}T - V\kappa_T \mathrm{d}p \]](/images/math/a/6/7/a67c01d30fbeec416a718acd1aa8ea58.png)
formálisan osztunk -vel és jelöljük kell az izochor állapotváltozást:
![\[ {\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V = \frac{\beta_p}{\kappa_T}. \]](/images/math/c/4/f/c4fcbf429061d44dfada22dc0e50cdfe.png)