„Termodinamika példák - Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége” változatai közötti eltérés
A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger Kategória:Termodinamika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”) |
(→Megoldás) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
</noinclude><wlatex># Fejezzük ki a $C_p-C_V$ különbséget $n$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\beta_p$ hőtágulási együttható segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel az általános $$C_p-C_V=\frac{1}{n}\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ egyenletet, a Van der Waals-gáz belső energiájára vonatkozó összefüggést és a hőtágulási együttható definícióját.}}{{Végeredmény|content=$$C_p-C_V=\frac{RT\beta_p}{1-nb/V}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | </noinclude><wlatex># Fejezzük ki a $C_p-C_V$ különbséget $n$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\beta_p$ hőtágulási együttható segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk fel az általános $$C_p-C_V=\frac{1}{n}\left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$$ egyenletet, a Van der Waals-gáz belső energiájára vonatkozó összefüggést és a hőtágulási együttható definícióját.}}{{Végeredmény|content=$$C_p-C_V=\frac{RT\beta_p}{1-nb/V}.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
− | <wlatex> | + | <wlatex>A termodinamika első főtételébe ($\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$) behelyettesítve az $U(T,V)$ kétváltozós függvény teljes differenciálját |
+ | $$ \delta Q = \left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right) \mathrm{d}V + \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \mathrm{d}T $$ | ||
+ | összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson formálisan $\mathrm{d}T$-vel osztva | ||
+ | $$ C_p- C_V=\frac 1 n\left(p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right){\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p $$ | ||
+ | általános fajhőösszefüggéshez jutunk. | ||
+ | |||
+ | Ismerve a Van der Waals-gáz belső energiáját leíró | ||
+ | $$ U=n C_VT- n^2\frac a V $$ | ||
+ | képletet, | ||
+ | $$ {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=\frac{n^2a}{V^2} $$ | ||
+ | differenciálhányadost kiszámíthatjuk és | ||
+ | $$ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p $$ | ||
+ | definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe: | ||
+ | $$ C_p-C_V=\frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p $$ | ||
+ | |||
+ | A | ||
+ | $$ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right)=nRT $$ | ||
+ | van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez jutunk: | ||
+ | $$ C_p- C_V=\frac{RT{\beta }_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}.$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. április 7., 19:12-kori változata
Feladat
- Fejezzük ki a
különbséget
mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a
hőtágulási együttható segítségével!
Megoldás
A termodinamika első főtételébe () behelyettesítve az
kétváltozós függvény teljes differenciálját
![\[ \delta Q = \left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right) \mathrm{d}V + \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \mathrm{d}T \]](/images/math/c/c/9/cc9cd20e861dce7c9328d18a91ffe6fb.png)
összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson formálisan -vel osztva
![\[ C_p- C_V=\frac 1 n\left(p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right){\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p \]](/images/math/2/a/8/2a826accd48eda44f40a4532d0fcb231.png)
általános fajhőösszefüggéshez jutunk.
Ismerve a Van der Waals-gáz belső energiáját leíró
![\[ U=n C_VT- n^2\frac a V \]](/images/math/c/e/0/ce0c40b9dcdde793f5b86b0743cf1bc8.png)
képletet,
![\[ {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=\frac{n^2a}{V^2} \]](/images/math/6/f/6/6f66d9505b74f008a73f7ed5d6f19652.png)
differenciálhányadost kiszámíthatjuk és
![\[ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \]](/images/math/c/5/b/c5bbb1f2f4680cbba379057eed004602.png)
definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe:
![\[ C_p-C_V=\frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p \]](/images/math/f/5/2/f52ec36ce80d9d8dae3474ff5ad2ce06.png)
A
![\[ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right)=nRT \]](/images/math/6/f/2/6f260623541ae94502fb9df34b7ed304.png)
van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez jutunk:
![\[ C_p- C_V=\frac{RT{\beta }_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}.\]](/images/math/9/5/1/95195e3659fcd2167b8826609b3140a7.png)