Magnetosztatika példák - Koaxiális vezető mágneses tere

Feladat

1. Az ábrán látható koaxiális vezetőben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. A belső éren ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-n belül) befelé, a külső éren ($\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ között) kifelé. Határozzuk meg a mágneses teret a tengelytől mért $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság függvényében.

Megoldás

Mivel a rendszer teljesen hengerszimmetrikus, könnyen alkalmazhatjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt.

$\[I=\oint \vec{H}\vec{dl}\]$

Vegyünk fel egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gyűrűt, mint zárt görbét, melynek tengelye egybeesik a hengerek tengelyével. A rendszer hengerszimmetrikus, így joggal feltételezzük, hogy a $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térerősség nagysága a gyűrű minden pontján azonos nagyságú, iránya pedig mindenütt érintő irányú. A vektorok skalárszorzatának integrálja így a következőképp egyszerűsíthető:

$\[I_O=2r\pi H\]$

$\[H=\dfrac{I_O}{2\pi r}\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$I_O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gyűrű által határolt területen átfolyó áram erőssége. Ha $\setbox0\hbox{$r<a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a gyűrűn átfolyó áram erőssége arányos az $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerben folyó $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal, az arányossági tényező pedig a gyűrű területének és a henger keresztmetszetének hányadosa:

$\[I_O=I\dfrac{r^2}{a^2}\]$

Tehát a belső hengerben a térerősség helyfüggése:

$\[H=\dfrac{I}{2\pi a^2} r\]$

A két henger között ($\setbox0\hbox{$a<r<b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) az Amper-féle gerjesztési törvény a fentiekhez hasonlóan alkalmazható, ám a zárt gyűrűn átfolyó összes áram megegyezik a belső hengerben folyó $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árammal, tehát a mágneses tér helyfüggése:

$\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\]$

Tovább növelve az Amper-törvény zárt görbéjének sugarát ($\setbox0\hbox{$b<r<c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a zárt görbe által határolt területen átfolyó összes áram erőssége csökken, hiszen a külső hengerben folyó, belsővel ellentétes irányú áram egy részét is bezárja. A területek arányainak ismeretében meghatározható a zárt görbe által határolt áramok nagysága:

$\[I_O=I-I\dfrac{r^2-b^2}{c^2-b^2}=I \left( \dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2} \right)\]$

A térerősség a külső hengerben tehát:

$\[H=\dfrac{I}{2\pi r}\dfrac{c^2-r^2}{c^2-b^2}\]$

A két hengeren kívüli térben ($\setbox0\hbox{$c<r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a térerősség zérus, hiszen az $\setbox0\hbox{$r>c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú zárt görbe által határolt felületen egyaránt átfolyik a belső henger $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ árama, és a külső henger $\setbox0\hbox{$-I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ erősségű árama. Ezek összege pedig nulla: $\setbox0\hbox{$I_O=I-I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$