Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok

Feladatok

1. Fejezze ki az egyatomos ideális gáz nyomását a gáz $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső energiájával és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatával!
   Végeredmény

   $\[p=\frac{2U}{3V}\]$
   Megoldás
   
   
2. Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $\setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyíláson át jutottak az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atom az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont helyett $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben csapódott le.
   • a) Állapítsuk meg az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszát $\setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $\setbox0\hbox{$50\,s^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
     Végeredmény

     $\[x=\frac{\omega R^2}{v}\]$
   • b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?
     Útmutatás

     Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $\setbox0\hbox{$x\sim 1/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést.
     Végeredmény

     $\[v_m=5v_0/2,\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebesség.
     Megoldás
     
     
3. Az $\setbox0\hbox{$F(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességeloszlási függvényből a $\setbox0\hbox{$w=mv^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia-eloszlási függvényt, ahol $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $\setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$w+\mathrm{d}w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $\setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
   Végeredmény

   $\[w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT\]$
   Megoldás
   
   
4. Legfeljebb mekkora lehet az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, gömb alakú edényben lévő $\setbox0\hbox{$300\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es hidrogéngáz nyomása, hogy az átlagos szabad úthossz nagyobb legyen az edény átmérőjénél? A hidrogénmolekula átmérője $\setbox0\hbox{$2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Végeredmény

   $\[p<0,155\,\mathrm{Pa}\]$
   Megoldás
   
   
5. Hogyan változik az ideális gáz $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diffúziós állandója és $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső súrlódási együtthatója, ha a gáz térfogata $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szersére nő
   • a) állandó hőmérsékleten,
     Végeredmény

     $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeres, $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változatlan.
   • b) állandó nyomáson?
     Végeredmény

     $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$n^{3/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeres, $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$n^{1/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeres.
     Megoldás
     
     
6. $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, vékonyfalú tartályban ideális gáz van, az edényt légüres tér veszi körül.
   • a) Hogyan változik az idő függvényében az edényben lévő gáz $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ részecskeszáma, ha a tartály falá n igen kicsi, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű lyuk van?
     Végeredmény

     $\[n(t)=n_0\exp\{-t/\tau\},\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$n_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kezdeti részecskeszám-sűrűség, $\setbox0\hbox{$\tau=\frac{4V}{A\langle v\rangle}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • b) Határozzuk meg azt az időtartamot, amely alatt a gáz nyomása felére csökken! Feltesszük, hogy a gáz kiáramlása lassú, így a gáz egyensúlyi állapotát a folyamat nem zavarja, továbbá a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a szabad úthossz, tehát a lyuk területére is érvényes az az összefüggés, hogy az edény falának időegység alatt nekiütköző molekulák szána $\setbox0\hbox{$\frac{1}{4}nA\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a molekulák átlagsebességer). A hőmérséklet mindvégig $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
     Végeredmény

     $\[\tau_{1/2}=\tau \ln 2\]$
     Megoldás
     
     
7. Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $\setbox0\hbox{$p_K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $\setbox0\hbox{$p=3p_K/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi nyomás alakul ki!
   Útmutatás

   Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molkeulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.
   Megoldás
   
   
8. Egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, nagy felületű, homogén anyagréteg két ellentétes felületén a hőmérséklet állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az anyag hővezetési tényezője hőmérséklet- és helyfüggetlen. A hővezetés alapegyenlete segítségével mutassuk ki, hogy a rétegben a hőmérséklet lineárisan változik az egyik felülettől mért $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolsággal, és írjuk fel a $\setbox0\hbox{$T(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt a megadott mennyiségekkel!
   Végeredmény

   $\[T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{d}x\]$
   Megoldás
   
   
9. Mennyi idő alatt képződik $\setbox0\hbox{$y=5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $\setbox0\hbox{$T_\ell=-10^\circ\mathrm{C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $\setbox0\hbox{$T=0^\circ\mathrm{C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $\setbox0\hbox{$0^\circ\mathrm{C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os. A jég olvadáshője $\setbox0\hbox{$L_o=335\,\frac{J}{g}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hővezetési tényezője $\setbox0\hbox{$\lambda=2,1\cdot10^{-2}\,\frac{\mathrm{J}}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége pedig $\setbox0\hbox{$\rho=0,92\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Útmutatás

   Írjuk fel egy elemi időtartam alatt keletkező elemi vastagságú jégréteg felszabadulásakor keletkező hőt, és tegyük fel, hogy ez a jégrétegen keresztül hővezetéssel távozik, majd integráljuk a kapott egyenletet.
   Végeredmény

   $\[y(t)=\left(\frac{2\lambda(T_0-T_1)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2},\]$

   5 óra alatt képződik $\setbox0\hbox{$5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégréteg.
   Megoldás
   
   
10. $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, igen nagy hőkapacitású folyadékba $\setbox0\hbox{$T_1>T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőjű, abszolút jó hővezető testet helyezünk a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban. A test lehűlése a Newton-féle lehűlési törvény szerint zajlik ($\setbox0\hbox{$\text{hőáramsűrűség}=\alpha(T-T_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), az $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőátadási tényező ismert, a test felületének nagysága $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a test hőmérsékletét $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő eltelte után!
    Útmutatás

    A leadott hőt fejezzük ki egyrészt a hőkapacitással, és a hőmérsékletváltozással, másrészt a folyadékba történő hőátadással, és integráljuk a kapott egyenletet.
    Végeredmény

    $\[T=T_0+(T_1-T_0)\exp\{-\frac{\alpha A}{mc}t\}\]$
    Megoldás