Termodinamika példák - Ideális gáz állapotváltozása egyenlettel

Feladat

1. Melegszik vagy lehűl az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{mol}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ideális gáz, ha a $\setbox0\hbox{$V=k/\sqrt{p}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés ($\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó) szerint tágul ki? Mekkora a gáz mólhője ebben a folyamatban, ha állandó térfogaton mért mólhője $\setbox0\hbox{$C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$?

Megoldás

A termodinamika első főtétele szerint

$\[\delta Q = \mathrm{d}U+p\,\mathrm{d}V,\]$

ahol a belső energiát a hőmérséklet és a térfogat függvényeként fogjuk fel ($\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), ezzel:

$\[\delta Q = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\mathrm{d}T+ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\mathrm{d}V+ p\,\mathrm{d}V.\]$

Az utolsó két tag sorrendjét felcserélve általánosan levezethető, hogy

$\[C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ \left[p+\frac{\partial U}{\partial V}\right]_T\mathrm{d}V.\]$

Az ideális gázra speciálisan a belső energia térfogat szerinti parciális deriváltja nulla. A térfogat infinitezimális megváltozását a folyamatot jellemző úton kifejezhetjük a hőmérséklettel:

$\[C n \mathrm{d}T = C_V n \mathrm{d}T+ p\left(\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}\right)_{\substack{\text{állapot-}\\ \text{változás}}}\mathrm{d}T.\]$

Az ideális gáz $\setbox0\hbox{$pV=nRT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotegyenletéből és a folyamatot jellemző $\setbox0\hbox{$p=\frac{k^2}{V^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyenletből a térfogat és a folyamatot jellemző deriváltja számítható:

$\[V=\frac{k^2}{nRT}\qquad\text{és}\qquad\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T}=-\frac{k^2}{nRT^2}=-\frac{V}{T}\]$

Ezt visszaírva a folyamatot jellemző $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhő kifejezésébe azt kapjuk, hogy

$\[C n \mathrm{d}T = \left(C_V n - \frac{pV}{T}\right)\mathrm{d}T = (C_V n - nR)\mathrm{d}T,\]$

ahonnan a fajhő leolvasható:

$\[ C = C_V - R. \]$