Termodinamika példák - Hővezetés

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, igen nagy hőkapacitású folyadékba $\setbox0\hbox{$T_1>T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőjű, abszolút jó hővezető testet helyezünk a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban. A test lehűlése a Newton-féle lehűlési törvény szerint zajlik ($\setbox0\hbox{$\text{hőáramsűrűség}=\alpha(T-T_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), az $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőátadási tényező ismert, a test felületének nagysága $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a test hőmérsékletét $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő eltelte után!

Megoldás

Hővezetés alapegyenlete a Newton-féle lehűlési törvénnyel:

$\[ \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=A\alpha \left(T-T_0\right). \]$

A test $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklettel való hűlése $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}Q=-cm\,\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hő elvonásával jár. A kapott differenciálegyenlet a változók szétválasztásának módszerével megoldható

$\[ -\frac{cm\,\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = A\alpha \left(T-T_0\right), \]$

az eredményt a $\setbox0\hbox{$T(0)=T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kezdeti feltételre illesztve

$\[ \ln \left(\frac{T-T_0}{T_1-T_0}\right) = \frac{A\alpha}{cm}t.\]$

Ebből a test pillanatnyi hőmérséklete:

$\[ T = T_0+\left(T_1-T_0\right)e^{\textstyle -\frac{A\alpha}{cm}t}. \]$