Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt

Feladat

1. Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $\setbox0\hbox{$p_\text{kezd}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $\setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi nyomás alakul ki!

Megoldás

Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk ($\setbox0\hbox{$\frac14 n_V A \langle v \rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:

$\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]$

ahol az egyes tartályokat zárójelbe tett számmal indexeltük, de a molekulák átlagos sebessége a két tartályban az azonos $\setbox0\hbox{$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.

Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma $\setbox0\hbox{$N^{(2)}=N-N^{(1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, aminek értelmében $\setbox0\hbox{$N^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:

$\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]$

Felhasználva ezt és $\setbox0\hbox{$n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciót, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:

$\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]$

Egyensúly esetén $\setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]$

amiből

$\[ n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]$

Analóg módon kapjuk, hogy egyensúlyban $\setbox0\hbox{$ n_V^{(1)} = n_V^{(2)} = n_\infty = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása

$\[ p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT. \]$

Speciálisan a feladat szerint $\setbox0\hbox{$p_\text{kezd} = \frac{N_\text{kezd}^{(1)}}{V^{(1)}} kT = \frac{N_\text{kezd}^{(2)}}{2V^{(2)}} kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V^{(1)}=V^{(2)}=V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$N_\text{kezd}^{(1)}=N_\text{kezd}^{(2)}/2=N/3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás $\setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Kiegészítés

A felírt

$\[ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \alpha n_V^{(1)} + \beta,\]$

$\[ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right), \qquad \beta = \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}V^{(1)} {V^{(2)}} = n_\infty \alpha \]$

differenciálegyenlet megoldása

$\[ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(n_V^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} - \alpha n_V^{(1)} + \alpha (n_V^{(1)}-n_\infty)\]$

felírásban már triviális:

$\[ n_V^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, \]$

és kezdeti feltételre illesztése $\setbox0\hbox{$ n_V^{(1)}(0) - n_\infty = n_{V0}^{(1)} - n_\infty = c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi $\setbox0\hbox{$n_\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékhez:

$\[ n_V^{(1)} = n_\infty + (n_{V0}^{(1)}-n_\infty) e^{ -\alpha t }. \]$

Diszkusszió

Ha $\setbox0\hbox{$V^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $\setbox0\hbox{$n_V^{(2)}=n_\infty=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ n_V^{(1)} = n_{V0}^{(1)} e^{ -\alpha t }. \]$