Termodinamika példák - Stern-kísérlet

Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $\setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyíláson át jutottak az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atom az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont helyett $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben csapódott le.

• a) Állapítsuk meg az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszát $\setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $\setbox0\hbox{$50\,s^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!

Az atomok trepülési ideje $\setbox0\hbox{$R/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a berendezés kerületi sebessége $\setbox0\hbox{$\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív hossza

$\[x=\frac{\omega R^2}{v}.\]$

• b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok? Útmutatás: Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $\setbox0\hbox{$x\sim 1/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést.

A Maxwell-féle sebességeloszlás

$\[F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\}}.\]$

Az eloszlásfüggvény matematikai konstrukció, a gázmolekulák $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességintervallumba eső hányadát $\setbox0\hbox{$F(v)\mathrm{d}v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adja, a feladatmegoldás során ezzel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $\setbox0\hbox{$[x,\mathrm{d}x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intervallumba érkező ezüstatomok $\setbox0\hbox{$g(x)\mathrm{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel:

$\[J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x\]$

Az ismert adatokból kifejezzül a $\setbox0\hbox{$J_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ részecskeáramsűrűséget. A $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre

$\[N_v\mathrm{d}v = N\,F(v)\mathrm{d}v,\]$

$\[n_{Vv}\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\mathrm{d}v.\]$

Itt a molekula-áramsűrűség definíció szerint

$\[J_v\mathrm{d}v=v n_{Vv}\mathrm{d}v\]$

Az előző feladatrészben megteremtettük az $\setbox0\hbox{$x(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapcsolatot, amiből a transzformációs szabály

$\[|\mathrm{d}v|=\frac{\omega R^2}{x^2}\mathrm{d}x\]$

differenciálás útján bizonyítható (az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességhez kis befutott $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív tartozik).

\[J_v\mathrm{d}v=n_VA\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\}}v\mathrm{d}v=\frac{nA}{v_0^3}(\omega R^2)^5\frac1{x^5}\exp{\{-\left(\frac{\omegaR^2}{v_0}\rihgt)^2\frac1{x^2}\}}.\]