Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt
Navigáció Pt·1·2·3 |
---|
Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
Gyakorlatok listája: |
Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok |
Feladatok listája: |
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben
nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok
hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos
egyensúlyi nyomás alakul ki!
Megoldás
Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]](/images/math/b/3/4/b347c9f105aeb903ab882413b764b9f2.png)
a molekulák átlagos sebessége érelmében azonos, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.
Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma , aminek értelmében
megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]](/images/math/1/6/c/16c0565dd0bb4bb61f994f9bde059e3a.png)
Felhasználva ezt és, hogy , ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
![\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]](/images/math/8/9/9/89916c699d6c1f63bcd0db3b76b29c24.png)
Egyensúly esetén , azaz
:
![\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]](/images/math/9/4/4/944fc3cdf75243ec53be80a78c11e0e5.png)
amiből
![\[ n^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]](/images/math/4/6/e/46e60bca8a2d19c64ece7d41bbd769da.png)
Analóg módon kapjuk, hogy , azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása
.
Speciálisan a feladat szerint
és
, azaz
, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás
.
Kiegészítés
A felírt
differenciálegyenlet megoldása
Diszkusszió
Ha![\setbox0\hbox{$V^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/8/2/1/8211dfcbfb963d4b89902d3f82b010c9.png)
\setbox0\hbox{$n^{(2)}=n_\intfty=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.