Termodinamika példák - Ideális gáz entrópiája

Feladat

1. Az ideális gáz entrópiáját gyakran az $\setbox0\hbox{$S\left(T,V\right)=n C_V\ln T+nR\ln V+ S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakban használják.
   • a) Indokolja meg, hogy az $\setbox0\hbox{$S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiségnek függnie kell a rendszer anyagmennyiségét megadó n mólszámtól!
   • b) Adjon meg egy olyan $\setbox0\hbox{$S_0(n)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$·függést, amellyel az entrópia fenti kifejezése teljesíti az a) pontban szereplő követelményt!

Megoldás

a) Az entrópia extenzív mennyiség, ezért egy nagyobb rendszer entrópiája a részrendszerek entrópiájának összege. Ez az additivitás csak úgy teljesülhet, ha az $\setbox0\hbox{$S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ referenciaérték függ a rendszer nagyságától, azaz a mólszámtól.

b) A feladatban megadott képletben $\setbox0\hbox{$\ln T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\ln V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csak dimenzió nélkül (előre rögzített $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$V_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egységekben mért mértékegység nélküli számként) értelmezhetőek, ahogy az előző feladatban megállapítottuk:

$\[ S\left(T,V\right)- S_0=n\left( C_V \ln T + R\ln V \right)\]$

Láthatóan a kifejezést $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nel osztva a kapott $\setbox0\hbox{$S_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ moláris entrópia változása már nem függ a mólszámtól, így $\setbox0\hbox{$S_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$S_M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sem.

$\[ S_0\left(n\right)=n\cdot S_M^0 \]$

Tegyük a térfogatot is molárissá, így leválaszthatjuk a mólszámtól való függést:

$\[ S\left(T,V,n\right) = n\left( C_V \ln T + R\ln \frac{V}{n} + R\ln n +\frac{S_0(n)}{n} \right).\]$

Az $\setbox0\hbox{$s_0=R\ln n + S_M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definícióval $\setbox0\hbox{$s_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ már első rendben független a mólszámtól, és beazonosíthatjuk, hogy $\setbox0\hbox{$S_0=-nR\ln n+ns_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.