Termodinamika példák - Stern-kísérlet

Feladat

1. Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $\setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyíláson át jutottak az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atom az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont helyett $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben csapódott le.
   
   • a) Állapítsuk meg az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszát $\setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $\setbox0\hbox{$50\,\mathrm{s}^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
   • b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?

Megoldás

a) Az atomok repülési ideje $\setbox0\hbox{$\Delta t=R/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a berendezés kerületi sebessége $\setbox0\hbox{$\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív hossza

$\[ x = \omega R \Delta t=\frac{\omega R^2}{v}. \]$

b) A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja

$\[ F(v) = A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebesség és $\setbox0\hbox{$A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a normálási tényező. Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen sűrűségfüggvénynek nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességintervallumba eső hányadát $\setbox0\hbox{$F(v)\,\mathrm{d}v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel az átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $\setbox0\hbox{$[x,\mathrm{d}x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intervallumba érkező ezüstatomok $\setbox0\hbox{$g(x)\,\mathrm{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáram-sűrűséggel:

$\[ J_v\,\mathrm{d}v = g(x)\,\mathrm{d}x. \]$

Az ismert adatokból kifejezzük a $\setbox0\hbox{$J_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ részecske-áramsűrűséget. A $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességtartományban a részecskék számára illetve a részecskeszám-sűrűségre

$\[ N_v\,\mathrm{d}v = N\,F(v)\,\mathrm{d}v, \]$

$\[ n_{Vv}\,\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\,\mathrm{d}v. \]$

A molekula-áramsűrűség definíció szerint

$\[ J_v\,\mathrm{d}v = v n_{Vv}\,\mathrm{d}v. \]$

Az előző feladatrészben megteremtettük az $\setbox0\hbox{$x(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapcsolatot, amiből a differenciálás útján bizonyítható transzformációs szabály

$\[ |\mathrm{d}v| = \frac{\omega R^2}{x^2}\,\mathrm{d}x \]$

(az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességhez kis befutott $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív tartozik). Behelyettesítve ezeket:

$\[ J_v\,\mathrm{d}v = n_V A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\,\mathrm{d}v = \frac{n_V A}{v_0^3} (\omega R^2)^4 \frac{1}{x^5} \exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\,\mathrm{d}x = J(x)\,\mathrm{d}x.\]$

A legnagyobb rétegvastagság ennek a függvénynek az extrémumánál lesz. Konstans faktor erejéig, $\setbox0\hbox{$a=\frac{\omega R^2}{v_0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelöléssel:

$\[ \frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x} = \left. C\cdot \left[ 2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5} - \frac5{x^6} \right] \exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\} \right|_{x=x_m} = 0. \]$

A kifejezés zérussá csak $\setbox0\hbox{$2a-5x_m^2=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre rendre

$\[ x_m^2 = \frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2, \]$

$\[ x_m=\sqrt{\frac25}\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m=\sqrt{\frac52}v_0 \]$

kifejezések adódnak.