Termodinamika példák - Jég fagyása

Feladat

1. Mennyi idő alatt képződik $\setbox0\hbox{$Z=5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $\setbox0\hbox{$T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $\setbox0\hbox{$T_0=0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os. A jég olvadáshője $\setbox0\hbox{$L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hővezetési tényezője $\setbox0\hbox{$\lambda=2{,}1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége pedig $\setbox0\hbox{$\rho=0{,}92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

A hővezetés

$\[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\]$

alaptörvényét arra használjuk fel, hogy felírjuk egy már létező $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú jégrétegen keresztüli hőkivonást, ami egy $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú jégréteg megfagyasztásához szükséges.

Ha a fagyás kellően lassú*, feltehetjük, hogy az előző feladatban bizonyított módon lineáris hőmérsékletprofil alakul ki a $\setbox0\hbox{$Z(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégrétegben.

$\[\frac{dT}{dz}=\frac{T_0-T_\ell}{Z(t)} \qquad \forall z\in(0,Z(t))\]$

A fagyás során vízből $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os jégréteget

$\[ \mathrm{d}Q= -L_o\,\mathrm{d}m = -L_o\rho A \,\mathrm{d}Z \]$

hő elvonásával tudunk létrehozni.

A fenti ismereteket a hővezetési egyenletbe helyettesítve:

$\[ L_o \rho A \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} = -\lambda A \frac{T_0-T_\ell}{Z}, \]$

amit a változók szétválasztásának módszerével megoldhatunk,

$\[ Z(t) = \left(\frac{2\lambda(T_0-T_\ell)}{\rho L_o}\right)^{1/2}t^{1/2}, \]$

$\[ t(Z) = \left(\frac{\rho L_o}{2\lambda(T_0-T_\ell)}\right)\,Z^2, \]$

azaz 5 óra alatt képződik $\setbox0\hbox{$5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégréteg.

Megjegyzés

* A feladatot nagyon elbonyolítaná, ha figyelembe akarnánk venni, hogy a már meglevő jégrétegben fenn kell tartanunk a lineáris hőmérsékletprofilt és ez további (helyfüggő nagyságú) hőáramot igényel. Ez a közelítés $\setbox0\hbox{$L_0 \gg c\cdot 10\,\mathrm{^\circ C}=20{,}93\,\mathrm{\frac{J}{g}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ miatt indokolt nem túl vastag jégpáncélra.

A valóságban a hőmérsékletprofil változását is figyelembe vevő $\setbox0\hbox{$\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\lambda}{c\rho} \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem stacionárius hővezetési egyenletet az előbbi, fagyást leíró egyenlettel együtt $\setbox0\hbox{$T(z=0,t)=-10\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T(z=Z(t),t)=0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mozgó peremfeltétel mellett kellene megoldani, ahol $\setbox0\hbox{$T(z,t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$Z(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ is ismeretlen.