Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere

Feladat

1. Határozzuk meg egy $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram által átjárt véges hosszúságú egyenes vezető mágneses terét a vezetőtől $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra található az $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontban. A vezető szakasz egyik vége $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontból $\setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg a másik vége $\setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszódik az $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ból a vezetőre állított merőlegeshez képest.
   Végeredmény

   $\[C=\dfrac{Q}{U_{1,2}}=\dfrac{4\pi\varepsilon_0}{\left( \dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2} \right)}\]$
   </includeonly>

Megoldás

a.) A mágneses tér meghatározható, ha a Biot-Savart törvényt kiintegráljuk a vezető teljes hossza mentén:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl\times r}{\mid r \mid ^3}\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az áramjárta vezető elemi darabja, $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig az elemi vezetődarabtól a tér vizsgált pontjába mutató vektor. A tér vizsgált pontját nevezzük ki a koordináta-rendszer origójának ($\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Ettől $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságra, az $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel párhuzamosan helyezkedik el az áramjárta vezető. Parametrizáljuk a vezető pontjait a vezető adott pontjából az origóba húzott $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugár $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengellyel bezárt $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögével az ábra szerint. 1.ábra

Fejezzünk ki a Biot-Savart integrál változóit $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében!

$\[r=\dfrac{d}{\cos (\varphi)}\]$

Az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$A''$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontok közti infinitezimális $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vezetőszakasz az $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontból $\setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszik. Az $\setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$A''$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakaszon kijelölünk egy $\setbox0\hbox{$A'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontot úgy, hogy $\setbox0\hbox{$OA'=r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Belátható, hogy az $\setbox0\hbox{$AA'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szakasz hossza közelítőleg megegyezik egy $\setbox0\hbox{$d\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszó $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú ívelemmel:

$\[ AA'=r d\varphi\]$

Mivel $\setbox0\hbox{$AOP$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$A''AA'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ merőleges szárú szögek, ezért $\setbox0\hbox{$A''AA'=\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezek alapján:

$\[dl=\dfrac{AA'}{\cos (\varphi)}=\dfrac{r}{\cos(\varphi)}d\varphi=\dfrac{d}{\cos^2(\varphi)}d\varphi\]$

A Biot-Savart törvényben szereplő vektorszorzat a vezető minden $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eleme esetén az ábra síkjára merőleges, befelé mutató mágneses indukció járulékot ad. Emiatt a vektorszorzatot az alábbiak szerint egyszerűsíthetjük:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\mid dl\ \mid \mid r \mid sin(A''AP)}{\mid r \mid ^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{\mid dl\ \mid sin(A''AP)}{\mid r \mid ^2}=\]$

$\[=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \dfrac{ \left( \dfrac{d}{\cos^2(\varphi)} \right) sin(A''AP)}{ \left( \dfrac{d}{\cos(\varphi)} \right)^2 }d\varphi=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} \dfrac{ sin(A''AP)}{ d }d\varphi\]$

Az ábra alapján a szinusz argumentumában szereplő $\setbox0\hbox{$A''AP$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögről beláthatjuk, hogy:

$\[A''AP=180-OAP=180-(90-\varphi)=90+\varphi\]$

Tehát:

$\[\sin(A''AP)=\cos(\varphi)\]$

A Biot-Savart integrál tehát tovább egyszerűsödik:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} cos(\varphi) d\varphi =\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d}\left( \sin(\alpha_1)-sin(\alpha_2) \right) \]$

A véges hosszúságú áramjárta vezető mágneses terének nagysága tehát:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d}\left( \sin(\alpha_1)-sin(\alpha_2) \right) \]$

Iránya pedig az ábra síkjára merőlegesen kifelé mutat.

Megjegyzés

Az eredményt érdemes megjegyezni, hiszen a későbbiekben gyakran találkozunk olyan áramjárta vezető geometriákkal, melyek véges egyenes szakaszokból tevődnek össze. Külön figyelmet érdemel a végtelen vezetőre vonatkozó határeset, amikor $\setbox0\hbox{$\alpha_1=\pi /2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\alpha_2=-\pi /2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ilyenkor a tér:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (1-(-1))=\dfrac{\mu_0 I}{2 \pi d}\]$

Az eredmény megnyugtató összhangban van a végtelen egyenes vezető Amper-féle gerjesztési törvénnyel kiszámolt terével (6. feladatsor 2. feladat)