Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2

Feladat

Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!

Megoldás

Végtelen hosszú vezető esetén az Egyenes vezető mágneses tere feladatában szereplő Biot-Savart törvény nehézkes integrálását kiválthatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazásával. Ilyenkor kihasználjuk, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, továbbá a vezető tengelye mentén eltolási szimmetriával rendelkezik. Felveszünk egy $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetékre, tengelye pedig azzal egybe esik. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt:

$\[I=\oint \overline{Hdl}\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gyűrű által bezárt területen átfolyó áramerősség (megegyezik a vezetékben folyó árammal), $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a gyűrű alakú görbe egyes pontjaiban mérhető mágneses térerősség. Tekintve, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, a mágneses teret is hengerszimmetrikusnak feltételezhetjük, mely örvényesen veszi körül a vezetéket. Iránya mindenütt párhuzamos a gyűrű $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ívelemével. Emiatt az Amper-féle gerjesztési törvényben szereplő vektorok skalárszorzata egyszerűsíthető a mennyiségek skaláris értékeinek szorzatával:

$\[I=\oint Hdl\]$

Ugyancsak a hengerszimmetria miatt feltételezzük, hogy a gyűrű mentén mindenütt konstans $\setbox0\hbox{$H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú tér merhető. Az integrál tovább egyszerűsödik:

$\[I=H\oint dl=2r\pi H\]$

Hiszen a fenti körintegrál a gyűrű kerületét adja meg.

Ebből kifejezve a mágneses teret:

$\[H= \dfrac{I}{2\pi r}\]$

Az indukció ennek $\setbox0\hbox{$\mu_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szorosa:

$\[B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\]$