Magnetosztatika példák - Gyűrű alakú vezető mágneses tere

Feladat

Az ábra szerinti áramkör egy homogén vezető gyűrűből áll, amelyhez két sugárirányú vezeték csatlakozik. Az áramkört záró forrás a hozzávezetésekkel együtt olyan távoli, hogy a gyűrű helyén keltett mágneses tere elhanyagolható. Mekkora a mágneses térerősség a gyűrű középpontjában? (abra)

Megoldás

Ha az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú gyűrű $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög alatt látszódó kapcsaira $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget kötünk, a kapcsok által kettéosztott ívdarab egyikében óramutató járásával megegyező, a másikban pedig óramutató járásával ellentétes áram indul. Először meghatározzuk az egyes ívelemek ellenállását, majd a bennük folyó áramot. Legvégül Biot-Savart törvénnyel kiszámítjuk az indukált mágneses teret.

Az ívek hossza:

$\[L_1=\alpha r\]$

$\[L_1=(2\pi-\alpha) r\]$

Legyen a vezeték egységnyi hosszára eső ellenállás nagysága $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ekkor a két ív ellenállása:

$\[R_1=L_1\rho=\alpha r\rho\]$

$\[L_1=(2\pi-\alpha) r\rho\]$

A egyes vezetékekben folyó áramok:

$\[I_1=\dfrac{U}{R_1}=\dfrac{U}{\alpha r\rho}\]$

$\[I_2=\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{U}{(2\pi-\alpha) r\rho}\]$

Az áramjárta vezetők mágneses terét a kör középpontjában a Biot-Savart törvénnyel határozhatjuk meg:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl \times r}{r^3}\]$

A vektorszorzatot egyszerűsíthetjük, hiszen az ívelemek a kör geometria miatt mindig merőlegesek a hozzájuk húzott sugárra:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl r}{r^3}=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi} \int \dfrac{dl }{r^2}\]$

Parametrizáljuk a $\setbox0\hbox{$dl$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ívelemet $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint mindkét ív esetén:

$\[dl_1=-r d\alpha\]$

$\[dl_2=r d\alpha\]$

$\setbox0\hbox{$dl_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben azért van negatív előjel, mert az áram folyási iránya ellentétes az $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög körüljárási irányával. Ezek alapján a két ív által keltett mágneses tér:

$\[B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi} \int_0^{\alpha} \dfrac{-r d\alpha}{r^2}=-\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r} \int_0^{\alpha} d\alpha\]$

$\[B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi} \int_{\alpha}^{2\pi} \dfrac{r d\alpha}{r^2}=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} \int_{\alpha}^{2\pi} d\alpha\]$

Az integrálásokat elvégezve:

$\[B_1=-\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r} \alpha\]$

$\[B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} ( 2\pi-\alpha)\]$

Behelyettesítve az áramerősségeket:

$\[B_1=-\dfrac{\mu_0 }{4 \pi r} \dfrac{U}{\alpha r\rho} \alpha=-\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}\]$

$\[B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r} \dfrac{U}{(2\pi-\alpha) r\rho}( 2\pi-\alpha)=\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}\]$

Az eredő tér:

$\[B=B_1+B_2=\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}-\dfrac{\mu_0 U}{4 \pi r^2 \rho}=0\]$

A két komponens épp kioltja egymást, függetlenül a kontaktusok elhelyezésének $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögétől.