Magnetosztatika példák - Körív alakú vezető mágneses tere

Feladat

1. \setbox0\hbox{$Az ábrán látható vezető körben $}%
   

\message{//depth:\the\dp0//}% \box0%

I

\setbox0\hbox{$ áram folyik.  
 '''a)'''Mekkora és milyen irányú az $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%

r

\setbox0\hbox{$ sugarú kör középpontjában a mágneses térerősségnek a körvezetőtől származó része, ha az $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%

A

\setbox0\hbox{$ és $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%

B

\setbox0\hbox{$ pontokat összekötő negyedkörív alakú vezető keresztmetszete $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%

2d

\setbox0\hbox{$ átmérőjű, míg a háromnegyed körívé $}%
\message{//depth:\the\dp0//}%
\box0%

d$.;
b) Mekkora és milyen irányú mágneses teret kelt a körhöz csatlakozó két vezető szakasz?
c) Mekkora és milyen irányú teret kelt a másik két egyenes vezető szakasz?
d) Mekkora és milyen irányú a teljes rendszer által létrehozott mágneses tér a kör középpontjában?

Megoldás

a.) A feladat megoldásának gondolatmenete hasonló a 6. feladatsor 7. feladatához. Először tehát meghatározzuk az egyes körívek ellenállását. Legyen a vezető fajlagos ellenállása $\setbox0\hbox{$\rho=[\Omega/m]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[R_1=\rho\dfrac{l_1}{A_1}=\rho\dfrac{\dfrac{1}{4}2r\pi}{\dfrac{(2d)^2}{4}\pi}=\dfrac{\rho r}{2d^2}\]$

$\[R_2=\rho\dfrac{l_2}{A_2}=\rho\dfrac{\dfrac{3}{4}2r\pi}{\dfrac{d^2}{4}\pi}=\dfrac{6\rho r}{d^2}\]$

A két ellenállás hányadosa:

$\[\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{6\rho r}{d^2}\dfrac{2d^2}{\rho r}=12\]$

Mivel az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontok között a két vezető körív párhuzamosan van kapcsolva, a főkörben folyó $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram a körívek ellenállásával fordított arányban oszlik meg a két ív között:

$\[I_1=I\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=I\dfrac{12R_1}{R_1+12R_1}=\dfrac{12}{13}I\]$

$\[I_2=-I\dfrac{R_1}{R_1+R_2}=-I\dfrac{R_1}{R_1+12R_1}=-\dfrac{1}{13}I\]$

$\setbox0\hbox{$I_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azért kapott negatív előjelet, mert a háromnegyed körívben az áram körüljárási iránya ellentétes a negyedkörívben folyó áraméval. A 6. feladatsor 7. feladatában már meghatároztuk az $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú, $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram által átjárt $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögű körív mágneses terét a Biot-Savart törvény segítségével:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi r}\alpha\]$

Az így kapott mágneses indukció iránya merőleges a körív síkjára. A pozitív irány az ábra síkjából kifelé mutat. A negyed, és a háromnegyed körív által keltett terek tehát a következők:

$\[B_1=\dfrac{\mu_0 I_1}{4 \pi r}\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\mu_0 I}{26 r}\]$

$\[B_2=\dfrac{\mu_0 I_2}{4 \pi r}\dfrac{3\pi}{2}=-\dfrac{3\mu_0 I}{104 r}\]$

A körívekben folyó áramok által keltett tér tehát:

$\[B_{kor}=B_1+B_2=\dfrac{3\mu_0 I}{r}\left( \dfrac{1}{26}-\dfrac{1}{104} \right)=\dfrac{9\mu_0 I}{104r}\]$

b.) Mivel a körhöz csatlakozó két egyenes vezető szakaszra fektetett egyenesek átmennek a kör középpontján, a Biot-Savart törvény alapján belátható, hogy az ezen vezetékekben folyó áramok nem keltenek teret a kör középpontjában.

c.) A két $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú egyenes vezető darab terét a 6. feladatsor 1. feladatában szereplő véges hosszúságú áramjárta egyenes vezető terére vonatkozó összefüggéssel fogjuk meghatározni, melyet a Biot-Savart törvény kiintegrálásával kaptunk meg:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi t} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vizsgált pont és a vezetődarab távolsága, $\setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a rúd két végpontjának látószöge a vizsgált pontból a vezetékhez húzott merőlegeshez képest. Nézzük először a 'felső', 3. jelű vezető szakaszt, melyben az áram az ábra szerint balról jobbra folyik. Ennek $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolsága a kör középpontjától épp $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tehát $\setbox0\hbox{$t=a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mivel a vezeték hossza is $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezért a vezeték kör középpontjától távolabb eső végpontja $\setbox0\hbox{$45^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$\alpha_1=\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ radián alatt látszik. A vezető közelebbi vége pedig épp egybe esik a kör középpontjából a vezető szakaszra állított merőleges talppontjával, ezért $\setbox0\hbox{$\alpha_2=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ Így a szóban forgó vezető szakasz által keltett $\setbox0\hbox{$B_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágneses tér nagysága a kör középpontjában könnyen meghatározható:

$\[B_3=-\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin(\pi/2)-\sin(0))=-\dfrac{\sqrt{2} \mu_0 I}{8 \pi a}\]$

Az indukció nagysága azért kapott negatív előjelet, mert a Biot-Savart törvényben szereplő $\setbox0\hbox{$\vec{dl}\times \vec{r}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektoriális szorzatról belátható, hogy a fenti esetben az ábra síkjára merőleges, befelé mutató mágneses teret eredményez. Mivel korábban az ábra síkjából kifelé mutató teret definiáltuk pozitívnak, $\setbox0\hbox{$B_3$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ előjelét negatívnak kell tekintenünk.\ Az ábrán szereplő másik $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú, 4. jelű vezető szakasz mágneses terét a 3. számúhoz hasonlóan határozhatjuk meg. A vezető kör középpontjától mért távolsága szintén $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, látószöge szintén $\setbox0\hbox{$45^o$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a keltett tér irányáról pedig belátható, hogy az ábra síkjára merőlegesen befelé mutat. Tehát:

$\[B_4=B_3\]$

Az a két szakasz eredő tere tehát:

$\[B_{negyzet}=2B_3=-\dfrac{\sqrt{2} \mu_0 I}{4 \pi a}\]$

d.) A teljes rendszer mágneses tere tehát a középpontban:

$\[B_e=B_{kor}+B_{negyzet}=\dfrac{9\mu_0 I}{104r}-\dfrac{\sqrt{2} \mu_0 I}{4 \pi a}\]$