Magnetosztatika példák - Forgó korong mágneses tere
Feladat
- Egy R sugarú üvegkorong egyik oldalát
egyenletes töltéssűrűséggel látjuk el. A korongot a szimmetriatengelye körül 
szögsebességgel megforgatjuk. Mekkora lesz a mágneses tér a korong tengelyén, a korong síkjától 
távolságban?
Megoldás
A forgó korong a 6. feladatsor 11. feladatához hasonló megfontolások alapján köráramok sokaságaként írható fel. Az 
sugarú korongot felosztjuk 
szélességű, 
sugarú gyűrűkre, és meghatározzuk, hogy az egyes gyűrűk mekkora köráramnak felelnek meg. A köráram mágneses terét annak tengelyén már meghatároztuk 6. feladatsor 11. feladatában, feladatunk tehát csak ezen elemi köráramok felösszegzése a korong teljes felületén.
Az sugarú, szélességű elemi gyűrű 
töltése:
![\[dq=2\pi r\Omega dr\]](/images/math/9/4/7/94719c56b90902fac61f4abfddc9d853.png)
Az szögsebességgel keringő elemi töltés 
erősségű köráramnak felel meg:
![\[dI=\dfrac{dq\omega}{2\pi}=\Omega \omega r dr\]](/images/math/4/9/2/492d844bec953a99f75efdd741e93201.png)
Ezen kicsiny köráramnak pontban keltett mágneses tere a 6. feladatsor 11. feladatának eredményét felhasználva:
![\[dB_z=\dfrac{\mu_0 dI r^2}{2 (r^2+z^2)^{3/2}}\]](/images/math/7/a/e/7aea7ccdcd082d6979c6d8795910f7d5.png)
A fenti kifejezésbe beírva az infinitezimális áramra kapott összefüggést:
![\[dB_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega r^3}{2 (r^2+z^2)^{3/2}}dr\]](/images/math/9/a/e/9aefc06243926acffe69e39167edaf76.png)
A teljes korong által keltett teret megkaphatjuk, ha az elemi köráramok indukció-járulékát felösszegezzük a korong közepétől a pereméig:
![\[B_z=\int dB_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \int_0^R \dfrac{r^3}{ (r^2+z^2)^{3/2}}dr\]](/images/math/a/4/7/a4761ddb97a546382f87e224d68fcdbf.png)
Az integrálást elvégezve:
![\[B_z=\dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left[ \dfrac{r^2+2z^2}{ (r^2+z^2)^{1/2}} \right]_0^R= \dfrac{\mu_0 \Omega \omega}{2} \left( \dfrac{R^2+2z^2}{ (R^2+z^2)^{1/2}} -2z\right)\]](/images/math/f/8/b/f8b72aadb1a696cc9f2c390167ab863a.png)
