Magnetosztatika példák - Négyzet alakú fémkeret mágneses tere

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ oldalú négyzet alakú fémkeretben $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a keret középpontján átmenő, síkjára merőleges $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tengely mentén!

Megoldás

A keret által létrehozott tér a négy darab él terének összegeként írható le. A véges hosszúságú, $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram által átjárt egyenes vezetékdarab mágneses terét az Egyenes vezető mágneses tere feladatában már meghatároztuk:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vizsgált pont és a vezetődarab távolsága, $\setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a rúd két végpontjának látószöge a vizsgált pontból a vezetékhez húzott merőlegeshez képest. A feladatban szereplő négyzetes keret középpontja felett $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban kijelölt pont egy négyzet alapú gúlává egészíti ki a rendszer geometriáját, ahogy az ábrán látható.

A gúla egy oldallapjának, mint egyenlő szárú háromszögnek a magassága megegyezik a vezető keret adott élének a vizsgált ponttól mért távolságával:

$\[d=\sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }\]$

A gúla élének hossza hasonló geometriai megfontolások alapján meghatározható:

$\[l=\sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 +\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }=\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }\]$

Ezek ismeretében meghatározható az oldallap magassága és az élek által bezárt $\setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szög szinusza:

$\[\sin(\alpha_1)=\dfrac{a}{2l}=\dfrac{a}{2\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]$

$\[\sin(\alpha_2)=-\dfrac{a}{2l}=-\dfrac{a}{2\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]$

Már mindent ismerünk ahhoz, hogy meghatározzuk a keret egyetlen éle által a gúla csúcspontjában keltett mágneses indukció nagyságát:

$\[B=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin(\alpha_1)-\sin(\alpha_2))=\dfrac{\mu_0 I}{4 \pi \sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }} \dfrac{a}{\sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]$

A fenti $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukció vektora azonban merőleges a gúla oldallapjára, így, ha összegezni akarjuk a keret négy éle által keltett teret, akkor négy darab $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú, de a gúla egyes oldallapjaira merőleges vektort kell összegeznünk. A gúla szimmetriája miatt az egyes indukció vektorok keret síkjával párhuzamos komponensei kioltják egymást. Keret síkjára merőleges komponensei összeadódnak, így az eredő tér is a keret síkjára merőleges irányú lesz. Hogy ennek nagyságát meghatározzuk, meg kell határoznunk a fent kiszámolt $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukció $\setbox0\hbox{$B_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függőleges komponensét:

$\[B_z=B \sin(\beta)\]$

Ahol $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$\vec{B}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vektor keret síkjával bezárt szöge. A merőleges szárú szögek tételéből következően a gúla magassága és a gúla oldallapjának magasságvonala szintén $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget zár be egymással. Tehát:

$\[\sin(\beta)=\dfrac{a}{2d}=\dfrac{a}{2\sqrt{z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2 }}\]$

Az eredő tér így a következőnek adódik:

$\[B_e=4B_z=4B \sin(\beta)=\dfrac{\mu_0 I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]$

Vagyis a mágneses térerősség:

$\[H = \dfrac{ I a^2}{2 \pi \left( z^2+\left( \dfrac{a}{2} \right)^2\right) \sqrt{z^2+ \dfrac{a^2}{2} }}\]$