Termodinamika példák - Ideális gáz részecskéinek energia szerinti eloszlása

Feladat

1. Az $\setbox0\hbox{$F(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességeloszlási függvényből a $\setbox0\hbox{$w=mv^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia-eloszlási függvényt, ahol $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $\setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$w+\mathrm{d}w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $\setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?

Megoldás

Az előző feladatban taglaltaknak megfelelően az

$\[F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}\]$

Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény szigorúan véve egy valószínűségi sűrűségfüggvény. Ahhoz, hogy az energia szerinti eloszlást (matematikailag ismét csak sűrűségfüggvényt) megkapjuk, egy mértéktranszformációt kell végrehajtanunk.

Ez fizikailag azt jelenti, hogy felírjuk a gázmolekulák $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességintervallumba eső hányadát és ezt megfeleltetjük a $\setbox0\hbox{$[w,w+\mathrm{d}w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiaintervallumnak:

$\[F(v)\,\mathrm{d}v=f(w)\,\mathrm{d}w,\]$

ahol az intervallum kezdőpontja a

$\[w=\frac{1}{2}\mu {v}^{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac2\mu}\sqrt{w}\]$

sebesség--energia-összefüggésből, hossza pedig ebből differenciálás útján kapható:

$\[ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}w} = \sqrt{\frac2\mu} \frac1{2\sqrt{w}} \qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}w}{\sqrt{2\mu w}}.\]$

Behelyettesítés után:

$\[f\left(w\right)\mathrm{d}w = F(v)\,\mathrm{d}v= A \frac{w}{w_v} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} \frac{1}{\sqrt{2\mu w}}\mathrm{d}w,\]$

azaz

$\[f\left(w\right) = B \sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\} ,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebességhez tartozó energia és $\setbox0\hbox{$B=\frac{A}{w_v\sqrt{2\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Mivel $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pozitív értékkészletű, $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ban és $\setbox0\hbox{$\infty$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben lecseng, azért extrémuma egyben a $\setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-lal jelölt legvalószínűbb energia:

$\[\left.\frac{\mathrm{d}f(w)}{\mathrm{d}w}\right|_{w_0}=B\exp\left\{-\frac{w_0}{kT}\right\}\left(\frac1{2\sqrt{w_0}}-\frac{\sqrt{w_0}}{kT}\right)=0.\]$

A fenti kifejezésben csak a kerek zárójelben levő rész adhat nulla értékű tényezőt, ennek a tényezőnek a megoldása a legvalószínűbb energia, ami éppen a legvalószínűbb sebességhez tartozó energiának a fele:

$\[w_0=\frac12kT=\frac12 w_v.\]$

Az átlagos energiát az $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény első momentumaként számíthatjuk:

$\[ \langle w\rangle = \int_0^\infty w f(w)\,\mathrm{d}w = B \int_0^\infty w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w.\]$

Az integrál parciális integrálással (első tényezőt deriváljuk, másodikat integráljuk) kiértékelhető alakra hozható:

$\[ \langle w\rangle = \left[-B \, kT \, w^{\frac32} \exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \right]_0^\infty - \frac32(-kT) \int_0^\infty B \sqrt{w}\exp\left\{ -\frac{w}{kT} \right\} \,\mathrm{d}w,\]$

ahol az első tag a határokon eltűnik, az integrál pedig éppen a teljes energiaeloszlás-függvény integrálja, azaz egy normált sűrűségfüggvény integrálja, aminek értéke $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ezzel a részecskék átlagos energiája

$\[\langle w\rangle=\frac32kT\]$

az ekvipartíció tételével összhangban.