Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt

Feladat

1. Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $\setbox0\hbox{$p_K$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $\setbox0\hbox{$p=3p_K/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi nyomás alakul ki!

Megoldás

Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, az azonos méretű tartályfalának ütközik egységnyi idő alatt. A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:

$\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]$

a molekulák átlagos sebessége $\setbox0\hbox{$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ érelmében azonos, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.

Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma $\setbox0\hbox{$N^{(2)}=N-N^{(1)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, aminek értelmében $\setbox0\hbox{$N^{(2)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:

$\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]$

Felhasználva ezt és, hogy $\setbox0\hbox{$n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:

$\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac1{V^{(1)}}+\frac1{V^{(2)}}\right)N^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]$

Egyensúly esetén $\setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$:

$\[ \left(\frac1{V^{(1)}}+\frac1{V^{(2)}}\right)N^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]$

amiből

$\[ N^{(1)} = \]$

Diszkusszió