Termodinamika példák - Lineáris hőmérsékletprofil

Feladat

1. Egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, nagy felületű, homogén anyagréteg két ellentétes felületén a hőmérséklet állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az anyag hővezetési tényezője hőmérséklet- és helyfüggetlen. A hővezetés alapegyenlete segítségével mutassuk ki, hogy a rétegben a hőmérséklet lineárisan változik az egyik felülettől mért $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolsággal, és írjuk fel a $\setbox0\hbox{$T(z)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt a megadott mennyiségekkel!

Megoldás

A $\setbox0\hbox{$j_z=-\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőáramra felírt egyenletet vonatkoztassuk most egy rögzített $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszetre, így a hővezetésnek egy új alakját, a $\setbox0\hbox{$J_Q=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ átadott hőteljesítményt kapjuk:

$\[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-\lambda A \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\]$

Mivel stacionárius esetben hő nem halmozódhat fel, $\setbox0\hbox{$J_Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó minden $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságú keresztmetszetre, bármely $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságban legyen is az.

Ebből viszont következik, hogy $\setbox0\hbox{$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó, aminek megoldása $\setbox0\hbox{$T(z) = T_0 + c_T z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lineáris függvény.

A $\setbox0\hbox{$T(0)=T_1,\,T(d)=T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ peremfeltételekre illesztve

$\[T(z)=T_1+\frac{T_2-T_1}{d}z\]$

adódik.