Termodinamika példák - Szilárd testek közelítő állapotegyenlete mérhető mennyiségekből

Feladat

1. Szilárd testek hőtágulási együtthatója, illetve izotermikus kompresszibilitása alacsony hőmérsékleten az alábbi összefüggésekkel adható meg:
   $\[ \beta_p = \frac{3aT^3}{V},\qquad \kappa_T=\frac{b}{V} \]$
   ($\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandók). Határozzuk meg a szilárd test ilyenkor érvényes állapotegyenletét!

Megoldás

Izobár folyamatban tekintve a hőtágulási együttható definícióját

$\[\beta_p=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)=\frac{{\mathrm{3aT}}^3} V\]$

összefüggést kapjuk, amit integrálhatunk

$\[ V\left(p,T\right)=\frac 3 4a T^4+f\left(p\right).\]$

Izoterm folyamatban vessük össze a kompresszibilitás definícióját az előbb kapott, ismeretlen függvényt tartalmazó állapotegyenlettel:

$\[ \kappa_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T = -\frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}f(p)}{\mathrm{d}p} = \frac{b}{V}, \]$

megkaphatjuk $\setbox0\hbox{$f(p)=-bp+\mathrm{const.}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést, amivel az állapotegyenlet:

$\[ V\left(p,T\right)=\frac 3 4a T^4-bp+\mathrm{const.}\]$