Termodinamika példák - Van der Waals-gáz fajhőkülönbsége

Feladat

1. Fejezzük ki a $\setbox0\hbox{$C_p-C_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ különbséget $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mol Van der Waals-gáz esetén a hőmérséklet, a térfogat és a $\setbox0\hbox{$\beta_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőtágulási együttható segítségével!

Megoldás

A termodinamika első főtételébe ($\setbox0\hbox{$\delta Q = \mathrm{d}U + p\mathrm{d}V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) behelyettesítve az $\setbox0\hbox{$U(T,V)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kétváltozós függvény teljes differenciálját

$\[ \delta Q = \left(p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right) \mathrm{d}V + \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \mathrm{d}T \]$

összefüggéshez, és ezt állandó nyomáson formálisan $\setbox0\hbox{$\mathrm{d}T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel osztva

$\[ C_p- C_V=\frac 1 n\left(p+{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T\right){\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_p \]$

általános fajhőösszefüggéshez jutunk.

Ismerve a Van der Waals-gáz belső energiáját leíró

$\[ U=n C_VT- n^2\frac a V \]$

képletet,

$\[ {\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=\frac{n^2a}{V^2} \]$

differenciálhányadost kiszámíthatjuk és

$\[ \beta_p = \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p \]$

definíciót beírhatjuk a fajhőösszefüggésbe:

$\[ C_p-C_V=\frac{1}{n} \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right) V \beta_p \]$

A

$\[ \left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)\left(V-nb\right)=nRT \]$

van der Waals-gáz állapotegyenletből az első tényezőt kifejezve egyszerűbb kifejezéshez jutunk:

$\[ C_p- C_V=\frac{RT{\beta }_p}{\displaystyle 1-\frac{nb}{V}}.\]$