Termodinamika példák - Argon olvadási görbéje

Feladat

1. A szilárd argon $\setbox0\hbox{$p_0=1\,\mathrm{bar}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomáson $\setbox0\hbox{$ T_0=83\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten olvad meg. Olvadáshője ekkor $\setbox0\hbox{$L_M^\text{olv}=1176\,\mathrm{\frac{J}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, móltérfogatának változása $\setbox0\hbox{$\Delta V_{M0}=3{,}5\,\mathrm{\frac{cm^3}{mol}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A nyomás növekedésekor az olvadáshő nem változik, a $\setbox0\hbox{$\Delta V_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ móltérfogatváltozás viszont az abszolút hőmérséklet $\setbox0\hbox{$3/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ik hatványával arányos.
   Mekkora nyomást kell alkalmaznunk ahhoz, hogy az olvadási hőmérséklet megkétszereződjék?

Megoldás

A móltérfogat

$\[ \Delta V_M = \Delta V_{M0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac32} \]$

hőmérsékletfüggését behelyettesítjük a Clapeyron-egyenletbe

$\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} = \frac{L_M^\text{olv} T_0^{\frac32}}{T^{\frac52} \Delta V_{M0}^\text{olv}}, \]$

majd változószétválasztás után integrálva $\setbox0\hbox{$p_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ illetve $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_1=2T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ között:

$\[ p = p_0+\frac{L_M^\text{olv} T_0^{\frac32}}{\Delta V_{M0}} \left[-\frac23 T^{-\frac32}\right]_{T_0}^{2 T_0} = p_0+\frac23\frac{L_M^\text{olv}}{\Delta V_{M0}}\left(1-\left(\frac12\right)^{\frac32}\right) \approx 1449{,}04\,\mathrm{bar}. \]$