Termodinamika példák - Stern-kísérlet

Feladat

1. Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $\setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyíláson át jutottak az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atom az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont helyett $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben csapódott le.
   
   • a) Állapítsuk meg az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszát $\setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $\setbox0\hbox{$50\,\mathrm{s}^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
   • b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?

Megoldás

a) Az atomok repülési ideje $\setbox0\hbox{$\Delta t=R/v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a berendezés kerületi sebessége $\setbox0\hbox{$\omega R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ezzel az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív hossza

$\[x=\omega R \Delta t=\frac{\omega R^2}{v}.\]$

b) A Maxwell-féle sebességeloszlás alakja

$\[F(v)=A\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp{\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}},\]$

ahol $\setbox0\hbox{$v_0=\sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebesség és $\setbox0\hbox{$A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Az Maxwell-féle sebességeloszlás-függvény egy matematikai konstrukció, valószínűségszámításban az ilyen típusú függvényeket helyesen sűrűségfüggvénynek nevezzük, a függvény egy-egy pontokban felvett értéke önmagában nem ad információt. A gázmolekulák $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességintervallumba eső hányadát $\setbox0\hbox{$F(v)\mathrm{d}v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fejezi ki, a feladatmegoldás során ezzel a valódi mennyiséggel kell számolnunk, mivel a átparaméterezéssel az infinitezimális intervallum hossza is változik. Az $\setbox0\hbox{$[x,\mathrm{d}x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intervallumba érkező ezüstatomok $\setbox0\hbox{$g(x)\mathrm{d}x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ száma (ami a rétegvastagsággal arányos mennyiség) megadható a részecskeáramsűrűséggel:

$\[J_v\mathrm{d}v=g(x)\mathrm{d}x\]$

Az ismert adatokból kifejezzük a $\setbox0\hbox{$J_v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ részecske-áramsűrűséget. A $\setbox0\hbox{$[v,v+\mathrm{d}v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességtartományban a részecskeszámokra illetve a részecskeszám-sűrűségre

$\[N_v\mathrm{d}v = N\,F(v)\mathrm{d}v,\]$

$\[n_{Vv}\mathrm{d}v = n_V\,F(v)\mathrm{d}v.\]$

Itt a molekula-áramsűrűség definíció szerint

$\[J_v\mathrm{d}v=v n_{Vv}\mathrm{d}v\]$

Az előző feladatrészben megteremtettük az $\setbox0\hbox{$x(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapcsolatot, amiből a transzformációs szabály

$\[|\mathrm{d}v|=\frac{\omega R^2}{x^2}\mathrm{d}x\]$

differenciálás útján bizonyítható (az ellentétes előjelet az ellentétes bejárást jelzi: nagy $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességhez kis befutott $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív tartozik).

$\[J_v\mathrm{d}v=n_VA\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\exp\left\{-\left(\frac{v}{v_0}\right)^2\right\}v\mathrm{d}v=\frac{n_V A}{v_0^3}(\omega R^2)^4\frac1{x^5}\exp\left\{-\left(\frac{\omega R^2}{v_0}\right)^2\frac1{x^2}\right\}\mathrm{d}x=J(x)\mathrm{d}x.\]$

A legnagyobb rétegvastagsághoz ennek a függvénynek az extrémumát keressük. Konstans faktor erejéig, $\setbox0\hbox{$a=\frac{\omega R^2}{v_0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelöléssel:

$\[\frac{\mathrm{d}J(x)}{\mathrm{d}x}=\left.C\cdot\left[2\frac{a^2}{x^3}\frac1{x^5}-\frac5{x^6}\right]\exp\left\{-\left(\frac{a}{x}\right)^2\right\}\right|_{x=x_m}=0.\]$

Ez zérussá csak $\setbox0\hbox{$2a-5x_m^2=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ módon válhat, ahonnan a legnagyobb rétegvastagság helyére és a legvalószínűbb sebességre

$\[x_m^2=\frac{2a}{5}=\frac{2\omega^2R^4}{5v_0^2} \qquad\text{és}\qquad v_m=\frac{\omega R^2}{x_m}\Rightarrow v_m^2=\frac52v_0^2,\]$

$\[x_m=\sqrt{\frac25}\frac{\omega R^2}{v_0} \qquad\text{és}\qquad v_m=\sqrt{\frac52}v_0\]$

kifejezések adódnak.