Termodinamika példák - Diffúzió és belső súrlódás

Feladat

1. Hogyan változik az ideális gáz $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diffúziós állandója és $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső súrlódási együtthatója, ha a gáz térfogata $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szersére nő
   • a) állandó hőmérsékleten,
   • b) állandó nyomáson?

Megoldás

A diffúzióállandó (vö. $\setbox0\hbox{$\bar J = -D \frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm{d}z}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az részecske-áramsűrűség)

$\[ D = \frac13\bar l\bar v \]$

képlettel az $\setbox0\hbox{$\bar l=\frac1{\sqrt 2 n_V \sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ átlagos szabad úthosszból és a $\setbox0\hbox{$\bar v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ átlagos molekulasebességből határozható meg.

A viszkozitás (vö. $\setbox0\hbox{$\bar \tau = \eta \frac{\mathrm{d}u_z}{\mathrm{d}x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a nyíróerő)

$\[ \eta = -\frac13 \bar l \bar v n_V \mu \]$

alakba írható, ahol $\setbox0\hbox{$n_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a molekulaszám-sűrűség, $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a molekulák tömege.

Behelyettesítve

$\[ D(T,V) = \frac13 \frac{V}{\sqrt 2 N \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} = \frac2{\sigma} \frac{V}{N} \sqrt{\frac{kT}{\pi\mu}} \]$

és

$\[ \eta(T,V)= -\frac13 \frac1{\sqrt 2 \sigma} \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}} \mu = - \frac2{ 3\sigma} \sqrt{\frac{kT\mu}{\pi}}. \]$

• (a) állandó hőmérsékleten
  $\[ D \propto V, \]$
  $\[ \eta \propto 1. \]$
  A diffúziós együttható $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére nől, a viszkozitás állandó marad.
• (b) állandó nyomáson az egyetemes gáztörvényből kifejezzük a hőmérséklet nyomásfüggését:
  $\[ pV = NkT \qquad \Rightarrow \qquad \sqrt{T} \propto \sqrt{pV}, \]$
  azaz
  $\[ D \propto V^{3/2},\]$
  $\[ \eta \propto \sqrt V. \]$
  A diffúziós együttható $\setbox0\hbox{$n^{3/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére, a viszkozitás $\setbox0\hbox{$\sqrt{n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeresére nől.