Termodinamika példák - Gáz szökése

Feladat

1. $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, vékonyfalú tartályban ideális gáz van, az edényt légüres tér veszi körül. Feltesszük, hogy a gáz kiáramlása lassú, így a gáz egyensúlyi állapotát a folyamat nem zavarja, továbbá a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a szabad úthossz, tehát a lyuk területére is érvényes az az összefüggés, hogy az edény falának időegység alatt nekiütköző molekulák száma $\setbox0\hbox{$\frac{1}{4}n_V A\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a molekulák átlagsebessége. A hőmérséklet mindvégig $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • a) Hogyan változik az idő függvényében az edényben lévő gáz $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ részecskeszáma, ha a tartály falán igen kicsi, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű lyuk van?
   • b) Határozzuk meg azt az időtartamot, amely alatt a gáz nyomása felére csökken!

Megoldás

Amikor a gáz kis lyukon keresztül szökik a tartályból, feltehetjük, hogy végig egyensúlyi állapotban marad. A lyukon keresztül időegység alatt távozó molekulák száma pedig megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor az edény falának egységnyi felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk. Mivel a molekulák száma időben változik, ezért differenciálegyenletet kapunk a tartályban lévő molekulák időfüggő $\setbox0\hbox{$n_V(t)=N(t)/V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sűrűségére:

$\[-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=V\frac{\mathrm{d}n_V}{\mathrm dt}=-\frac14 n_V A \langle v \rangle.\]$

A kapott differenciálegyenlet a változók szétválasztással megoldható:

$\[-\frac{\mathrm{d}n_V}{n_V}=-\frac{A \langle v \rangle}{4V}\,\mathrm{d}t,\]$

$\[\ln \frac{n_V}{n_{V0}}=-\frac{t}{\tau},\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\displaystyle \tau=\frac{A \langle v \rangle}{4V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a folyamat karakterisztikus ideje.

• (a) A tartályban lévő molekulák száma az idő függvényében:
  $\[N(t)=V n_V(t)=n_{V0}\exp\left\{-\frac{t}{\tau}\right\}\]$
• (b) A molekulák számának felezési idejét

$\[ n_V\left(t_{1/2}\right) = \frac{n_{V0}}{2} \]$

egyenletből számítjuk ki:

$\[ t_{1/2} = \tau \ln 2.\]$