Termodinamika példák - Vákuum

Feladat

1. Legfeljebb mekkora lehet az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, gömb alakú edényben lévő $\setbox0\hbox{$300\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es hidrogéngáz nyomása, hogy az átlagos szabad úthossz nagyobb legyen az edény átmérőjénél? A hidrogénmolekula átmérője $\setbox0\hbox{$2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Megoldás

Az átlagos szabad úthossz

$\[ \langle l \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}\, n_V \sigma}, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a részecskék ütközési hatáskeresztmetszete, $\setbox0\hbox{$n_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a gáz molekulaszám-sűrűsége. Klasszikus kinetikus modellben a szórási hatáskeresztmetszetet a molekulák, mint „kemény gömbök” vetületi területével adjuk meg, amit a $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ molekulaátmérővel fejezhetünk ki:

$\[ \sigma = d^2 \pi. \]$

Az ideális gáz $\setbox0\hbox{$pV=NkT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotegyenletéből meghatározhatjuk a molekulaszám-sűrűséget:

$\[ n_V = \frac{N}{V} = \frac{p}{kT}. \]$

A $\setbox0\hbox{$ 2R < \langle l \rangle $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feltétel az átlagos szabad úthosszban szereplő mennyiségeket behelyettesítve:

$\[ 2R < \frac{kT}{\sqrt{2}\, p \, d^2\pi}, \]$

amiből átrendezéssel a nyomás:

$\[ p < \frac{kT}{2\sqrt{2}\, R \, d^2\pi}. \]$

A megadott $\setbox0\hbox{$R=\displaystyle\left(\frac{3 \cdot 1\,\mathrm{dm^3}}{4\pi}\right)^{1/3}\approx 0{,}062\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$k=1{,}38 \cdot 10^{-23}\,\mathrm{J/K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$T=300\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$d=2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ numerikus értékekkel $\setbox0\hbox{$p<0{,}188\,\mathrm{Pa}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.