Termodinamika példák - Térfogatváltozás fajhőviszonnyal

Feladat

1. Egy kezdetben $\setbox0\hbox{$V_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, $\setbox0\hbox{$\gamma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőviszonyú ideális gáz térfogatát $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-re növeljük. A folyamatot egyszer adiabatikusan, másodszor pedig izotermikusan hajtjuk végre. Az első és második végállapotban a nyomások aránya $\setbox0\hbox{$2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mekkora a $\setbox0\hbox{$V_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogat?

Megoldás

Azonos kezdeti feltételekből izoterm állapotváltozás során

$\[ p_1 V_1 = p_{2\text{T}} V_2, \]$

míg adiabatikusan

$\[ p_1 V_1^\gamma = p_{2\text{ad}} V_2^\gamma. \]$

A két egyenletet egymással elosztva

$\[ V_1^{\gamma-1} = \frac{p_{2\text{ad}}}{p_{2\text{T}}} V_2^{\gamma-1}, \]$

ahol a feladat szerint $\setbox0\hbox{$\frac{p_{2\text{T}}}{p_{2\text{ad}}}=2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (táguláskor az 1:2 arány csak ebben az irányban teljesülhet, mert az adiabata meredekebb, mint az izoterma), innen

$\[ V_2 = V_1 \cdot 2^{\textstyle \frac{1}{\gamma-1}}. \]$