Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok

Ismert fizikai állandók

$\[ R = N_A \cdot k = 6,02 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}} \cdot 1,381 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}} = 8,314\ \mathrm{J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}} \]$

ahol $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az egyetemes gázálladó, $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Boltzmann-állandó, $\setbox0\hbox{$N_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az Avogadro-szám.

Ismert összefüggések

Az ideális gáz állapotegyenlete

$\[ pV = NkT \equiv nRT, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gáz nyomása, $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tárfogata, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a hőmérséklete.

A Maxwell-féle sebességeloszlás

$\[F(v)=A \left(\frac{v}{v_0}\right)^2 \exp\left\{ -\left(\frac{v}{{v}_{0}}\right)^2 \right\}\]$

alakú valószínűségi sűrűségfüggvény, $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebesség és $\setbox0\hbox{$A=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ normáló tényező. Az eloszlásra jellemző sebességek kifejezhetőek a $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklettel és a $\setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a molekulatömeggel:

	$\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \sqrt{\frac{2kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	legvalószínűbb sebesség
	$\setbox0\hbox{$\langle v \rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \sqrt{\frac{8kT}{\pi\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	sebesség nagyságának átlaga
	$\setbox0\hbox{$\sqrt{\langle v^2 \rangle}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	=	$\setbox0\hbox{$\displaystyle \sqrt{\frac{3kT}{\mu}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$	sebességnégyzet átlagának gyöke

Feladatok

1. Fejezze ki az egyatomos ideális gáz nyomását a gáz $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső energiájával és $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatával!
   Végeredmény [mutat]

   $\[p=\frac{2U}{3V}\]$
   Megoldás
   
   
2. Stern híres kísérletében, amellyel a Maxwell-eloszlás kísérleti igazolását adta, $\setbox0\hbox{$1880\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es ezüstszálról távozó atomok sebességeloszlását mérte meg, az ábrán vázolt elrendezéssel. Az $\setbox0\hbox{$F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontbeli tengelyen elhelyezkedő szálról távozó ezüstatomok az $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyíláson át jutottak az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sugarú hengerfelületre. A berendezés $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forgott, aminek következtében a $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atom az $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pont helyett $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-ben csapódott le.
   
   • a) Állapítsuk meg az $\setbox0\hbox{$AB$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ív $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszát $\setbox0\hbox{$800\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességű atomok esetén, ha a fordulatszám $\setbox0\hbox{$50\,\mathrm{s}^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R=20\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$!
     Végeredmény [mutat]

     $\[x=\frac{\omega R^2}{v}\]$
   • b) Milyen sebességnél adják a legnagyobb rétegvastagságot a külső hengerfelületen lecsapódó ezüstatomok?
     Útmutatás [mutat]

     Az időegység alatt lecsapódó részecskék számát határozzuk meg a Maxwell-eloszlás alapján, és használjuk ki az $\setbox0\hbox{$x\sim v^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést.
     Végeredmény [mutat]

     $\[v_m=\sqrt{\frac52}\,v_0,\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$v_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a legvalószínűbb sebesség.
     Megoldás
     
     
3. Az $\setbox0\hbox{$F(v)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességeloszlási függvényből a $\setbox0\hbox{$w=mv^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés felhasználásával vezessük le az $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia-eloszlási függvényt, ahol $\setbox0\hbox{$f(w)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ azt mutatja meg, hogy az összes molekula hányadrésze rendelkezik $\setbox0\hbox{$w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$w+\mathrm{d}w$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti mozgási energiával! Mekkora a legvalószínűbb $\setbox0\hbox{$w_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia és mennyi az átlagos kinetikus energia?
   Végeredmény [mutat]

   $\[f(w)=\frac{4}{v_0\sqrt{\pi}}\frac{1}{w_v\sqrt{2\mu}}\sqrt{w} \exp\left\{ -\frac{w}{w_v} \right\}, \text{ ahol } w_v=\frac12 \mu v_0^2=kT\]$

   
   

   $\[w_0=\frac12kT,\qquad \langle w\rangle=\frac32kT\]$
   Megoldás
   
   
4. Legfeljebb mekkora lehet az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, gömb alakú edényben lévő $\setbox0\hbox{$300\,\mathrm{K}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es hidrogéngáz nyomása, hogy az átlagos szabad úthossz nagyobb legyen az edény átmérőjénél? A hidrogénmolekula átmérője $\setbox0\hbox{$2\cdot10^{-10}\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   Végeredmény [mutat]

   $\[p<\frac{kT}{2\sqrt{2}\, R \, d^2\pi}=0{,}188\,\mathrm{Pa},\]$

   ahol $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az $\setbox0\hbox{$1\,\mathrm{l}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es tartály sugara.
   Megoldás
   
   
5. Hogyan változik az ideális gáz $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diffúziós állandója és $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső súrlódási együtthatója, ha a gáz térfogata $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szersére nő
   • a) állandó hőmérsékleten,
     Végeredmény [mutat]

     $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeres, $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változatlan.
   • b) állandó nyomáson?
     Végeredmény [mutat]

     $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$n^{3/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeres, $\setbox0\hbox{$\eta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$n^{1/2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szeres.
     Megoldás
     
     
6. $\setbox0\hbox{$V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ térfogatú, vékonyfalú tartályban ideális gáz van, az edényt légüres tér veszi körül. Feltesszük, hogy a gáz kiáramlása lassú, így a gáz egyensúlyi állapotát a folyamat nem zavarja, továbbá a lyuk mérete sokkal kisebb, mint a szabad úthossz, tehát a lyuk területére is érvényes az az összefüggés, hogy az edény falának időegység alatt nekiütköző molekulák száma $\setbox0\hbox{$\frac{1}{4}n_V A\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\langle v\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a molekulák átlagsebessége. A hőmérséklet mindvégig $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • a) Hogyan változik az idő függvényében az edényben lévő gáz $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ részecskeszáma, ha a tartály falán igen kicsi, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ területű lyuk van?
     Végeredmény [mutat]

     $\[N(t)=n_0\exp\{-t/\tau\},\]$

     ahol $\setbox0\hbox{$N_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kezdeti részecskeszám-sűrűség, $\setbox0\hbox{$\tau=\frac{4V}{A\langle v\rangle}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
   • b) Határozzuk meg azt az időtartamot, amely alatt a gáz nyomása felére csökken!
     Végeredmény [mutat]

     $\[\tau_{1/2}=\tau \ln 2\]$
     Megoldás
     
     
7. Két azonos térfogatú tartály kapcsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $\setbox0\hbox{$p_\text{kezd}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $\setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi nyomás alakul ki!
   Útmutatás [mutat]

   Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molekulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.
   Megoldás
   
   
8. Két azonos térfogatú tartály kapcsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $\setbox0\hbox{$p_\text{kezd}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nyomású hidrogéngáz, a másikban kétszer akkora nyomású oxigéngáz van. A gázok $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $\setbox0\hbox{$p=3p_\text{kezd}/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi nyomás alakul ki!
   Útmutatás [mutat]

   Használjuk ki, hogy a két gáz nem hat kölcsön, alkalmazzuk a parciális nyomások tételét.
   Megoldás
   
   
9. Egy $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastagságú, nagy felületű, homogén anyagréteg két ellentétes felületén a hőmérséklet állandó $\setbox0\hbox{$T_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$T_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az anyag hővezetési tényezője hőmérséklet- és helyfüggetlen. A hővezetés alapegyenlete segítségével mutassuk ki, hogy a rétegben a hőmérséklet lineárisan változik az egyik felülettől mért $\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolsággal, és írjuk fel a $\setbox0\hbox{$T(z)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt a megadott mennyiségekkel!
   Végeredmény [mutat]

   $\[T(z)=T_1+\frac{T_2-T_1}{d}z\]$
   Megoldás
   
   
10. Mennyi idő alatt képződik $\setbox0\hbox{$Z=5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégréteg egy tó felszínén, ha a léghőmérséklet $\setbox0\hbox{$T_\ell=-10\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a víz hőmérséklete a jégréteg alatt $\setbox0\hbox{$T_0=0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$? Tegyük fel, hogy a jégréteg felső felülete mindig azonos hőmérsékletű a levegővel, alső felülete pedig mindig $\setbox0\hbox{$0\,\mathrm{^\circ C}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os. A jég olvadáshője $\setbox0\hbox{$L_o=335\,\mathrm{\frac{J}{g}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, hővezetési tényezője $\setbox0\hbox{$\lambda=2{,}1\cdot10^{-2}\,\mathrm{\frac{J}{s\cdot cm\cdot ^\circ C}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, sűrűsége pedig $\setbox0\hbox{$\rho=0{,}92\,\mathrm{\frac{g}{cm^3}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
    Útmutatás [mutat]

    Írjuk fel egy elemi időtartam alatt keletkező elemi vastagságú jégréteg felszabadulásakor keletkező hőt, és tegyük fel, hogy ez a jégrétegen keresztül hővezetéssel távozik, majd integráljuk a kapott egyenletet. Az analitikus megoldás érdekében hanyagoljuk el a jég fajhőjét.
    Végeredmény [mutat]

    $\[t(Z) = \left(\frac{\rho L_o}{2\lambda(T_0-T_\ell)}\right)\,Z^2, \]$

    5 óra alatt képződik $\setbox0\hbox{$5\,\mathrm{cm}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vastag jégréteg.
    Megoldás
    
    
11. $\setbox0\hbox{$T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, igen nagy hőkapacitású folyadékba $\setbox0\hbox{$T_1>T_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű és $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőjű, abszolút jó hővezető testet helyezünk a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pillanatban. A test lehűlése a Newton-féle lehűlési törvény szerint zajlik ($\setbox0\hbox{$\text{hőáramsűrűség}=\alpha(T-T_0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), az $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőátadási tényező ismert, a test felületének nagysága $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Határozzuk meg a test hőmérsékletét $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő eltelte után!
    Útmutatás [mutat]

    A leadott hőt fejezzük ki egyrészt a hőkapacitással, és a hőmérsékletváltozással, másrészt a folyadékba történő hőátadással, és integráljuk a kapott egyenletet.
    Végeredmény [mutat]

    $\[T = T_0+\left(T_1-T_0\right)e^{\textstyle -\frac{A\alpha}{cm}t}\]$
    Megoldás