Magnetosztatika példák - V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram
A Fizipedia wikiből
Feladat
- Hosszegységenként
ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon
szöget alkosson. Egy könnyen csúszó rudat helyezünk az így kialakított sínre úgy, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. A rúd ugyanabból a vezetőből készült, mint a sín. Az elrendezést a síkjára merőleges, homogén
indukciójú térbe helyezzük. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd
sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)
Megoldás
Geometriai megfontolások alapján az egyenlő szárú háromszög alapjának hossza:
![\[a = 2m\cdot\tan(\alpha)\]](/images/math/c/d/5/cd5727751c2809cb5886ab1ae41a5294.png)
ahol a rúd távolsága a C ponttól. Ezzel a háromszög területe:
![\[A = m^2\cdot\tan(\alpha) =v^2 t^2\cdot\tan(\alpha) \]](/images/math/2/3/7/23701ad979e5f1bcb4fad0b028babe8d.png)
Mivel a rúd egyenletes sebességgel halad, (
)
a keretben indukált feszültség értéke:
![\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha)\]](/images/math/a/0/2/a029cee6035eb0f251d01982af188496.png)
A vezeték ellenállása pedig:
![\[R = r\cdot l\]](/images/math/7/1/3/7132dcb660775edd6244d6cf5d37ede6.png)
ahol a vezető keret pillanatnyi kerülete.
![\[l = 2 m \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)\]](/images/math/5/f/6/5f66a6c1ba0e2f7f17bb57507db6a5b3.png)
A vezetőkeretben folyó áram pedig meghatározható az Ohm-törvény alapján:
![\[I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 B v^2 t \cdot \tan(\alpha) } {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)} = -\frac{B v \sin(\alpha)}{r \left(1+\sin(\alpha)\right)}\]](/images/math/c/9/1/c91ee547cd486734c5b4f18c9987abbb.png)