„Magnetosztatika példák - Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér” változatai közötti eltérés
(→Feladat) |
(→Megoldás) |
||
21. sor: | 21. sor: | ||
a.) A tér a henger belsejében. | a.) A tér a henger belsejében. | ||
− | Felveszünk egy $r<R$ sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetőre, középpontja pedig egybeesik annak tengelyével. A gyűrűre, mint zárt görbére | + | Felveszünk egy $r<R$ sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetőre, középpontja pedig egybeesik annak tengelyével. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt: |
$$I=\oint \vec{H}\vec{dl}$$ | $$I=\oint \vec{H}\vec{dl}$$ |
A lap 2013. szeptember 27., 15:29-kori változata
Feladat
- sugarú hengeres vezetékben az áramsűrűség vektora mindenütt azonos. A tengelyre merőleges vektor segítségével fejezzük ki a térerősséget az -el jelzett pontban
a) a hengeren belül;
b) és kívül.
Megoldás
Szimmetria okokból feltételezhetjük, hogy a mágneses tér hengerszimmetrikus, örvényes elrendezésű lesz, nagysága egyedül a tengelytől mért távolságtól függ, iránya pedig tangenciális, azaz
egységvektor irányába mutató.
a.) A tér a henger belsejében.
Felveszünk egy sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetőre, középpontja pedig egybeesik annak tengelyével. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt:
A zárt görbe által határolt területen átfolyó áramerősség arányos a gyűrű területével, hiszen az áramsűrűség homogén:
Mivel a rendszer hengerszimmetrikus, és tengelye irányában transzlációs szimmetriát mutat, ezért mindig párhuzamosd -el. Továbbá nagysága mindenütt ugyanakkora a gyűrű mentén, ezért a gerjesztési törvény egyszerűsíthető:
Ebből kifejezhető a mágneses tér nagysága:
A térerősség vektora pedig a következő:
b.) A tér a hengeren kívül.
Az Amper-féle gerjesztési törvényt felírhatjuk a hengeren kívüli térben felvett sugarú gyűrűre is. Itt azonban a zárt görbe által határolt területen átfolyó áram nagysága független a gyűrű sugarától:
Így tehát a gerjesztési törvény:
Ebből kifejezve a térerősség nagyságát:
A térerősség vektora pedig a következő: