„Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
−
</noinclude><wlatex>Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben $I$ áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$}}
+
</noinclude><wlatex>#Határozzuk meg az áramvonalak törési törvényét a $\sigma_1$ és $\sigma_2$ vezetőképességű közegek határán.</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\sigma_1\cdot\cot\left(\alpha_1\right) = \sigma_2\cdot\cot\left(\alpha_2\right)$$}}
 
</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>
 
<wlatex>
−
Végtelen hosszú vezető esetén az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere|Egyenes vezető mágneses tere]] feladatában szereplő Biot-Savart törvény nehézkes integrálását kiválthatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazásával. Ilyenkor kihasználjuk, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, továbbá a vezető tengelye mentén eltolási szimmetriával rendelkezik. Felveszünk egy $r$ sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetékre, tengelye pedig azzal egybe esik. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt:
+
Legyen $\alpha_1$ és $\alpha_2$ az áramvonalaknak a merőlegessel bezárt szöge a két közegben. A kontinuitási törvény értelmében az áramvonalak határfelületre merőleges komponense állandó.
 +
$$\vec{j_1}\cdot\vec{A} =\vec{j_2}\cdot\vec{A} \rightarrow j_1\cos\left(\alpha_1\right) = j_2\cos\left(\alpha_2\right) $$
  
−
$$I=\oint \overline{Hdl}$$  
+
Az örvénymentességből pedig következik, hogy az elektromos tér felületre párhuzamos komponense folytonosan megy át:
 +
$$E_{1t} = E_{2t} $$
 +
Ebbe a differenciális Ohm-törvényt beírva:
 +
$$\frac{j_1 \sin\left(\alpha_1\right)}{\sigma_1} = \frac{j_2 \sin\left(\alpha_2\right)}{\sigma_2}$$
  
−
Ahol $I$ a gyűrű által bezárt területen átfolyó áramerősség (megegyezik a vezetékben folyó árammal), $H$ pedig a gyűrű alakú görbe egyes pontjaiban mérhető mágneses térerősség. Tekintve, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, a mágneses teret is hengerszimmetrikusnak feltételezhetjük, mely örvényesen veszi körül a vezetéket. Iránya mindenütt párhuzamos a gyűrű $dl$ ívelemével. Emiatt az Amper-féle gerjesztési törvényben szereplő vektorok skalárszorzata egyszerűsíthető a mennyiségek skaláris értékeinek  szorzatával:
+
A kapott két egyenletet elosztva, kiesik az áramsűrűség, és azt kapjuk:
−
+
−
$$I=\oint Hdl$$
+
  
−
Ugyancsak a hengerszimmetria miatt feltételezzük, hogy a gyűrű mentén mindenütt konstans $H$ nagyságú tér merhető. Az integrál tovább egyszerűsödik:
+
$$\sigma_1\cdot\cot\left(\alpha_1\right) = \sigma_2\cdot\cot\left(\alpha_2\right)$$
−
 
+
−
$$I=H\oint dl=2r\pi H$$
+
−
 
+
−
Hiszen a fenti körintegrál a gyűrű kerületét adja meg.
+
−
 
+
−
Ebből kifejezve a mágneses teret:
+
−
 
+
−
$$H= \dfrac{I}{2\pi r}$$
+
−
 
+
−
Az indukció ennek $\mu_0$-szorosa:
+
−
 
+
−
$$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$
+
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. július 14., 11:48-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 2.
Gyakorlatok listája:
  1. Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
  2. Elektromos potenciál
  3. Dielektrikumok, Gauss-tétel. Kapacitás, kondenzátorok
  4. Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája
  5. Vezetőképesség, áramsűrűség
  6. Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
  7. Erőhatások mágneses térben
  8. Mágneses térerősség. Kölcsönös és öninduktivitás
  9. Az indukció törvénye, mozgási indukció
  10. Mágneses tér energiája. Váltakozó áram, eltolási áram
Magnetosztatika - Biot-Savart törvény, gerjesztési törvény
Feladatok listája:
  1. Egyenes vezető mágneses tere
  2. Egyenes vezető mágneses tere 2
  3. Áram által átjárt vezető elrendezés mágneses tere
  4. Áram által átjárt hengeres vezetékben a mágneses tér
  5. Áram által átjárt üreges hengerben a mágneses tér
  6. Párhuzamos, végtelen vezetők mágneses tere
  7. Gyűrű alakú vezető mágneses tere
  8. Négyzet alakú fémkeret mágneses tere
  9. Koaxiális vezető mágneses tere
  10. Körív alakú vezető mágneses tere
  11. Körmozgást végző töltött test mágneses tere
  12. Forgó korong mágneses tere
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Határozzuk meg az áramvonalak törési törvényét a \setbox0\hbox{$\sigma_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\sigma_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképességű közegek határán.

Megoldás


Legyen \setbox0\hbox{$\alpha_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\alpha_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az áramvonalaknak a merőlegessel bezárt szöge a két közegben. A kontinuitási törvény értelmében az áramvonalak határfelületre merőleges komponense állandó.

\[\vec{j_1}\cdot\vec{A} =\vec{j_2}\cdot\vec{A} \rightarrow j_1\cos\left(\alpha_1\right) = j_2\cos\left(\alpha_2\right) \]

Az örvénymentességből pedig következik, hogy az elektromos tér felületre párhuzamos komponense folytonosan megy át:

\[E_{1t} = E_{2t} \]

Ebbe a differenciális Ohm-törvényt beírva:

\[\frac{j_1 \sin\left(\alpha_1\right)}{\sigma_1} = \frac{j_2 \sin\left(\alpha_2\right)}{\sigma_2}\]

A kapott két egyenletet elosztva, kiesik az áramsűrűség, és azt kapjuk:

\[\sigma_1\cdot\cot\left(\alpha_1\right) = \sigma_2\cdot\cot\left(\alpha_2\right)\]
A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Magnetosztatika_példák_-_Egyenes_vezető_mágneses_tere_2&oldid=11348”