„Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere 2” változatai közötti eltérés
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Határozzuk meg | + | </noinclude><wlatex>#Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben $I$ áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
<wlatex> | <wlatex> | ||
− | + | Végtelen hosszú vezető esetén az [[Magnetosztatika példák - Egyenes vezető mágneses tere|Egyenes vezető mágneses tere]] feladatában szereplő Biot-Savart törvény nehézkes integrálását kiválthatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazásával. Ilyenkor kihasználjuk, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, továbbá a vezető tengelye mentén eltolási szimmetriával rendelkezik. Felveszünk egy $r$ sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetékre, tengelye pedig azzal egybe esik. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt: | |
− | + | ||
− | + | $$I=\oint \overline{Hdl}$$ | |
− | $$ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Ahol $I$ a gyűrű által bezárt területen átfolyó áramerősség (megegyezik a vezetékben folyó árammal), $H$ pedig a gyűrű alakú görbe egyes pontjaiban mérhető mágneses térerősség. Tekintve, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, a mágneses teret is hengerszimmetrikusnak feltételezhetjük, mely örvényesen veszi körül a vezetéket. Iránya mindenütt párhuzamos a gyűrű $dl$ ívelemével. Emiatt az Amper-féle gerjesztési törvényben szereplő vektorok skalárszorzata egyszerűsíthető a mennyiségek skaláris értékeinek szorzatával: | |
+ | |||
+ | $$I=\oint Hdl$$ | ||
− | $$\ | + | Ugyancsak a hengerszimmetria miatt feltételezzük, hogy a gyűrű mentén mindenütt konstans $H$ nagyságú tér merhető. Az integrál tovább egyszerűsödik: |
+ | |||
+ | $$I=H\oint dl=2r\pi H$$ | ||
+ | |||
+ | Hiszen a fenti körintegrál a gyűrű kerületét adja meg. | ||
+ | |||
+ | Ebből kifejezve a mágneses teret: | ||
+ | |||
+ | $$H= \dfrac{I}{2\pi r}$$ | ||
+ | |||
+ | Az indukció ennek $\mu_0$-szorosa: | ||
+ | |||
+ | $$B= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap 2013. július 14., 11:49-kori változata
Feladat
- Határozzuk meg egy végtelen hosszú egyenes vezető mágneses terét, mint a vezetőtől mért távolság függvényét! A vezetőben áram folyik. A számításokat végezzük az Amper-féle gerjesztési törvény segítségével!
Megoldás
Végtelen hosszú vezető esetén az Egyenes vezető mágneses tere feladatában szereplő Biot-Savart törvény nehézkes integrálását kiválthatjuk az Amper-féle gerjesztési törvény alkalmazásával. Ilyenkor kihasználjuk, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, továbbá a vezető tengelye mentén eltolási szimmetriával rendelkezik. Felveszünk egy sugarú gyűrűt, melynek síkja merőleges a vezetékre, tengelye pedig azzal egybe esik. A gyűrűre, mint zárt görbére felírjuk az Amper-féle gerjesztési törvényt:
Ahol a gyűrű által bezárt területen átfolyó áramerősség (megegyezik a vezetékben folyó árammal), pedig a gyűrű alakú görbe egyes pontjaiban mérhető mágneses térerősség. Tekintve, hogy a rendszer hengerszimmetrikus, a mágneses teret is hengerszimmetrikusnak feltételezhetjük, mely örvényesen veszi körül a vezetéket. Iránya mindenütt párhuzamos a gyűrű ívelemével. Emiatt az Amper-féle gerjesztési törvényben szereplő vektorok skalárszorzata egyszerűsíthető a mennyiségek skaláris értékeinek szorzatával:
Ugyancsak a hengerszimmetria miatt feltételezzük, hogy a gyűrű mentén mindenütt konstans nagyságú tér merhető. Az integrál tovább egyszerűsödik:
Hiszen a fenti körintegrál a gyűrű kerületét adja meg.
Ebből kifejezve a mágneses teret:
Az indukció ennek -szorosa: