„Magnetosztatika példák - Fáziskésés váltakozó-áramú LR körben” változatai közötti eltérés
(→Megoldás) |
(→Megoldás) |
||
(2 szerkesztő 9 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
8. sor: | 8. sor: | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
− | </noinclude><wlatex>#Egy $L$ induktivitású tekercset és egy $R$ ellenállást egy $\omega$ frekvenciával szinuszosan változó feszültségű | + | </noinclude><wlatex>#Egy $L$ induktivitású tekercset és egy $R$ ellenállást egy $\omega$ frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora $\phi$ szöggel késik az áram a feszültséghez képest? </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$\phi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$}} |
</wlatex></includeonly><noinclude> | </wlatex></includeonly><noinclude> | ||
16. sor: | 16. sor: | ||
$$U = RI + L\dot{I}$$ | $$U = RI + L\dot{I}$$ | ||
− | + | Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen: | |
+ | $$U = \tilde{U}e^{i\omega t}$$ | ||
+ | ahol $\omega$ a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban: | ||
$$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$ | $$I = \tilde{I}e^{i\omega t}$$ | ||
Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve: | Ezt behelyettesítve és $e^{i\omega t}$-vel leegyszerűsítve: | ||
− | $$\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+ | + | $$\tilde{U} = \tilde{I}\left(R+iL\omega\right)$$ |
Amit ha $\tilde{I}$-re rendezünk, akkor: | Amit ha $\tilde{I}$-re rendezünk, akkor: | ||
$$\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}$$ | $$\tilde{I}=\frac{\tilde{U}}{R+iL\omega}$$ | ||
Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek: | Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek: | ||
$$\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | $$\tilde{I} = \frac{U}{R+iL\omega} = \frac{U\left(R-iL\omega\right)}{R^2-L^2\omega^2}$$ | ||
− | Ebből $\tilde{I}$ fázisa a feszültséghez képest: | + | Ebből látjuk, hogy |
− | $$\phi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$ | + | $$\text{Re}(\tilde{I}) = \frac{U(R)}{R^2-L^2\omega^2}$$ |
+ | és | ||
+ | $$\text{Im}(\tilde{I}) = \frac{U(-L\omega)}{R^2-L^2\omega^2}$$. | ||
+ | Innen $\tilde{I}$ fázisa a feszültséghez képest: | ||
+ | $$\phi = -\arctan\left(\frac{\text{Im}(\tilde{I})}{\text{Re}(\tilde{I})}\right) = -\arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)$$ | ||
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. | Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest. | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> |
A lap jelenlegi, 2021. április 29., 10:53-kori változata
Feladat
- Egy induktivitású tekercset és egy ellenállást egy frekvenciával szinuszosan változó feszültségű forrásra kapcsolunk. Mekkora szöggel késik az áram a feszültséghez képest?
Megoldás
Ha felírjuk a hurok-törvényt erre az áramkörre, akkor a következő differenciál egyenletet kapjuk:
Egyszerűen kezelhetjük a problémát, ha bevezetjük a komplex áramot és feszültséget. A valóságban a mérhető áram és feszültség természetesen valós, időben harmonikus függvény szerint változik, de a fázisviszonyok egyszerű számítása érdekében érdemes komplex formalizmust alkalmazni. Tehát a forrás feszültsége legyen:
ahol a váltakozó áram körfrekvenciája. Keressük a megoldást a következő alakban:
Ezt behelyettesítve és -vel leegyszerűsítve:
Amit ha -re rendezünk, akkor:
Ha feszültség fázisát zérusnak vesszük (hiszen hozzá képest mérjük az áram fázisát), akkor a feszültséget vehetjük valós értékűnek:
Ebből látjuk, hogy
és
.Innen fázisa a feszültséghez képest:
Tehát ennyivel késik az áram a feszültséghez képest.