Magnetosztatika példák - V alakú sínen mozgó vezetőben indukált áram

Feladat

1. Hosszegységenként $\setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállású vezetéket úgy hajlítunk meg, hogy az ábrán látható módon $\setbox0\hbox{$2\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szöget alkosson. Az ugyanebből a vezetékből kialakított rúd helyezkedik el, hogy ABC egyenlőszárú háromszöget alkot. Az egész elrendezés a síkjára merőleges, homogén $\setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indukciójú térben van. Mekkora áram folyik a hurokban, amikor a rúd $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel mozog? (A kontaktusoknál fellépő ellenállásoktól tekintsünk el.)
   

Ábra

Megoldás

Az egyenlőszárú háromszög alapjánaka felének a hossza:

$\[a = m\cdot\tan(\alpha)\]$

ahol $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rúd távolsága a C ponttól. Ezzel a háromszög területe:

$\[A = m^2\cdot\tan(\alpha) =v^2 t^2\cdot\tan(\alpha) \]$

mivel a rúd a C ponttól egyenletes $\setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel halad. ($\setbox0\hbox{$m = v\cdot t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) A vezetőkeretben indukált feszültség ezzel:

$\[U = -\frac{\partial \Phi}{\partial t} = -2 b B v^2 t \cdot \tan(\alpha)\]$

A vezeték ellenállása pedig:

$\[R = r\cdot l\]$

ahol $\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vezető keret pillanatnyi kerülete.

$\[l = 2 m \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)\]$

A vezetőkeretben folyó áram pedig meghatározható az Ohm-törvény alapján:

$\[I = \frac{U}{R} =-\frac{ 2 b B v^2 t \cdot \tan(\alpha) } {2 v t r \left(\frac{1}{\cos(\alpha)}+\tan(\alpha)\right)} = -\frac{B v \sin(\alpha)}{1+\sin(\alpha)}\]$