„Termodinamika példák - Gázcsere tartályok közt” változatai közötti eltérés
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika 3. gyakorlat Kategória:Szerkesztő:Stippinger [[Kategória:Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok]…”) |
a (Lektori javaslatra a feladat szövegéből a szóismétlést törlöm, hogy ne tévesszük össze a következő feladattal, ahol különböző gázok szerepelnek.) |
||
| (egy szerkesztő 18 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 5. sor: | 5. sor: | ||
{{Kísérleti fizika gyakorlat | {{Kísérleti fizika gyakorlat | ||
| tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | | tárgynév = Kísérleti fizika 3. gyakorlat | ||
| − | |||
| − | |||
| témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | | témakör = Termodinamika - Kinetikus gázelmélet, transzportfolyamatok | ||
| − | | | + | | rövid = Kinetikus gázelmélet, transzport |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
}} | }} | ||
== Feladat == | == Feladat == | ||
| − | </noinclude><wlatex># | + | </noinclude><wlatex># Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben $p_\text{kezd}$ nyomású, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok $T$ hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos $p=3p_\text{kezd}/2$ egyensúlyi nyomás alakul ki!</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Használjuk ki, hogy egyensúlyban az egyes edényekben a molekulák térfogati sűrűsége állandó, és az összes molekulák száma a folyamatban nem változik.}}</wlatex></includeonly><noinclude> |
== Megoldás == | == Megoldás == | ||
| − | <wlatex> | + | <wlatex>Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk ($\frac14 n_V A \langle v \rangle$). A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le: |
| + | $$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = | ||
| + | - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A | ||
| + | + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,$$ | ||
| + | ahol az egyes tartályokat zárójelbe tett számmal indexeltük, de a molekulák átlagos sebessége a két tartályban az azonos $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi \mu }}$, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos. | ||
| + | |||
| + | Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma $N^{(2)}=N-N^{(1)}$, aminek értelmében $N^{(2)}$ megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel: | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. $$ | ||
| + | |||
| + | Felhasználva ezt és $n_V^{(i)}=N^{(i)}/V^{(i)}$ definíciót, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk: | ||
| + | $$ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = | ||
| + | - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} | ||
| + | + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}$$ | ||
| + | |||
| + | Egyensúly esetén $\frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$, azaz $\frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t}=0$: | ||
| + | $$ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} | ||
| + | = \frac{N}{V^{(2)}},$$ | ||
| + | amiből | ||
| + | $$ n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. $$ | ||
| + | Analóg módon kapjuk, hogy egyensúlyban $ n_V^{(1)} = n_V^{(2)} = n_\infty = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} $, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása | ||
| + | $$ p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT. $$ | ||
| + | |||
| + | Speciálisan a feladat szerint $p_\text{kezd} = \frac{N_\text{kezd}^{(1)}}{V^{(1)}} kT = \frac{N_\text{kezd}^{(2)}}{2V^{(2)}} kT$ és $V^{(1)}=V^{(2)}=V$, azaz $N_\text{kezd}^{(1)}=N_\text{kezd}^{(2)}/2=N/3$, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás $p=3p_\text{kezd}/2$. | ||
| + | |||
| + | == Kiegészítés == | ||
| + | A felírt | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = | ||
| + | - \alpha n_V^{(1)} | ||
| + | + \beta,$$ | ||
| + | $$ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right), | ||
| + | \qquad \beta = \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}V^{(1)} {V^{(2)}} | ||
| + | = n_\infty \alpha $$ | ||
| + | differenciálegyenlet megoldása | ||
| + | $$ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} | ||
| + | = \frac{\mathrm{d}(n_V^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} | ||
| + | - \alpha n_V^{(1)} + \alpha (n_V^{(1)}-n_\infty)$$ | ||
| + | felírásban már triviális: | ||
| + | $$ n_V^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, $$ | ||
| + | és kezdeti feltételre illesztése $ n_V^{(1)}(0) - n_\infty = n_{V0}^{(1)} - n_\infty = c$. | ||
| + | Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi $n_\infty$ értékhez: | ||
| + | $$ n_V^{(1)} = n_\infty + (n_{V0}^{(1)}-n_\infty) e^{ -\alpha t }. $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Diszkusszió == | ||
| + | Ha $V^{(2)}$ térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: $n_V^{(2)}=n_\infty=0$: | ||
| + | $$ n_V^{(1)} = n_{V0}^{(1)} e^{ -\alpha t }. $$ | ||
</wlatex> | </wlatex> | ||
</noinclude> | </noinclude> | ||
A lap jelenlegi, 2013. szeptember 20., 14:26-kori változata
| Navigáció Pt·1·2·3 |
|---|
| Kísérleti fizika 3. gyakorlat |
| Gyakorlatok listája: |
| Kinetikus gázelmélet, transzport |
| Feladatok listája: |
| © 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064 |
Feladat
- Két azonos térfogatú tartály kacsolódik egymáshoz, a szabad úthosszhoz képest kisméretű nyíláson keresztül. Az egyikben
nyomású, a másikban kétszer akkora nyomású hidrogéngáz van. A gázok 
hőmérséklete azonos és időben állandó. A kinetikus gázelmélet segítségével mutassuk ki, hogy a két tartályban azonos 
egyensúlyi nyomás alakul ki!
Megoldás
Amikor a gázcsere kis lyukon keresztül valósul meg a tartályok között, feltehetjük, hogy a gáz egy-egy tartályon belül végig egyensúlyi állapotban marad. Ha a lyuk mérete sokkal kisebb az átlagos szabad úthossznál, akkor a rajta keresztül időegység alatt távozó molekulák száma megegyezik azzal, amit a gáz kinetikus elméletében a nyomás tárgyalásakor a tartály falának ugyanakkora felületét időegység alatt érő molekulák számára kapunk (
). A molekulák száma az egyes tartályokban időben változik, ezt általánosan differenciálegyenlet-rendszerrel írhatjuk le:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 n_V^{(1)}\langle v \rangle A + \frac14 n_V^{(2)}\langle v \rangle A,\]](/images/math/b/3/4/b347c9f105aeb903ab882413b764b9f2.png)
ahol az egyes tartályokat zárójelbe tett számmal indexeltük, de a molekulák átlagos sebessége a két tartályban az azonos 
, hiszen a két tartály hőmérséklete és töltőanyaga is azonos.
Az anyagmegmaradás értelmében a második tartályban levő molekulák száma 
, aminek értelmében 
megváltozása is kifejezhető az előző mennyiségekkel:
![\[ \frac{\mathrm{d}N^{(1)}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}N^{(2)}}{\mathrm{d}t}. \]](/images/math/1/6/c/16c0565dd0bb4bb61f994f9bde059e3a.png)
Felhasználva ezt és 
definíciót, ismét szétválasztható differenciálegyenletet kapunk:
![\[ V^{(1)} \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \frac14 \langle v \rangle A \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} + \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}{V^{(2)}}\]](/images/math/c/5/3/c536320e705e8112efb5a2d6d888630d.png)
Egyensúly esetén 
, azaz 
:
![\[ \left(1+\frac{V^{(1)}}{V^{(2)}}\right)n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(2)}},\]](/images/math/1/f/8/1f8281c1229069750412e3a2306414bb.png)
amiből
![\[ n_V^{(1)} = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}}. \]](/images/math/7/2/f/72f2d7f499939089b0f5e61f19eea65d.png)
Analóg módon kapjuk, hogy egyensúlyban 
, azaz a két tartályban megegyezik a gáz sűrűsége, a feladatkiírás szerint hőmérséklete is, így nyomása
![\[ p = \frac{N^{(1)}+N^{(2)}}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT = \frac{N}{V^{(1)}+V^{(2)}} kT. \]](/images/math/6/8/8/688250f6731d07fd8be439c1bc444151.png)
Speciálisan a feladat szerint 
és 
, azaz 
, ezeket összevetve a kialakuló egyensúlyi nyomás .
Kiegészítés
A felírt
![\[ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = - \alpha n_V^{(1)} + \beta,\]](/images/math/b/b/6/bb65eed8abab11ad07fc70a62c5cd3c4.png)
![\[ \alpha = \frac14 \langle v \rangle A \left(\frac{V^{(1)}+V^{(2)}}{V^{(1)} V^{(2)}}\right), \qquad \beta = \frac14 \langle v \rangle A \frac{N}V^{(1)} {V^{(2)}} = n_\infty \alpha \]](/images/math/7/6/9/7692050dfcf66eb15a73fcc0782082c1.png)
differenciálegyenlet megoldása
![\[ \frac{\mathrm{d}n_V^{(1)}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(n_V^{(1)}-n_\infty)}{\mathrm{d}t} - \alpha n_V^{(1)} + \alpha (n_V^{(1)}-n_\infty)\]](/images/math/d/c/2/dc28da4a04871741505c829be05480cd.png)
felírásban már triviális:
![\[ n_V^{(1)}-n_\infty = c \, e^{ -\alpha t }, \]](/images/math/1/1/e/11e7d1c5af215810b4f018a37896ffb3.png)
és kezdeti feltételre illesztése 
.
Az első tartályban levő részecskék száma exponenciálisan lecsengve közelít az egyensúlyi 
értékhez:
![\[ n_V^{(1)} = n_\infty + (n_{V0}^{(1)}-n_\infty) e^{ -\alpha t }. \]](/images/math/f/7/1/f717624f4e44c3652415635010fabbb0.png)
Diszkusszió
Ha 
térfogatot végtelennek tekintjük, akkor a gáz szökésének speciális esetét kapjuk: 
:
![\[ n_V^{(1)} = n_{V0}^{(1)} e^{ -\alpha t }. \]](/images/math/6/5/c/65c2eb196039185ce887b3af4d7cebb8.png)
